Grupy - wyznaczanie x i y

[zuzkowo]

Proszę o pomoc w zrozumieniu zadania:

\(\displaystyle{ G}\) jest grupą. \(\displaystyle{ x,y \in G}\), spełniają warunki:
a) \(\displaystyle{ x^{2}=1, y^{35}=1, xy=y^{2}x.}\)
Co można powiedzieć o \(\displaystyle{ y}\)?

Rozwiązanie:
Mamy
\(\displaystyle{ xyx=y^{2}}\)
co daje
\(\displaystyle{ y=x(xyx)x=xy^{2}x=(xyx)(xyx)=y^{2}y^{2}=y^{4}}\)
stąd
\(\displaystyle{ y^{3}=e}\).
Zatem
\(\displaystyle{ y^{36}=(y^{3})^{12}=e}\)
co daje
\(\displaystyle{ y=y^{36}(y^{35})^{-1}=e}\)

b)\(\displaystyle{ x^{3}=1, y^{3}=1, xy=yx^{2}.}\)
Co można powiedzieć o \(\displaystyle{ x}\)?

Rozwiązanie:
Z trzeciej relacji mamy
\(\displaystyle{ y^{-1}xy=x^{2}}\)
zatem
\(\displaystyle{ y^{-2}xy^{2}=y^{-1}(y^{-1}xy)y=y^{-1}x^{2}y=(y^{-1}xy)(y^{-1}xy)=x^{2}x^{2}=x}\).
Ponownie sprzęgając obie strony otrzymanej równości
\(\displaystyle{ y^{-2}xy^{2}=x}\)
przez
\(\displaystyle{ y^{-1}}\)
i wykorzystując, że
\(\displaystyle{ y^{3}=1}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ x=x^{2}}\), a stąd \(\displaystyle{ x=1}\).


Nie mam pojęcia, dlaczego w podpunkcie a) mamy: \(\displaystyle{ xyx=y^{2}}\), a w b) \(\displaystyle{ y^{-1}xy=x^{2}}\)?
Czy w a) nie powinno też być \(\displaystyle{ x^{-1}yx=y^{2}}\)?
Następnie nie wiem skąd w podpunkcie a) bierze się równość: \(\displaystyle{ y=x(xyx)x=xy^{2}x}\)? Wydaje mi się, że pochodzi też z trzeciej zależności, ale wyznaczając odrazu \(\displaystyle{ y}\)?
Kolejne przekształcenia są dla mnie jasne.

W podpunkcie b) mam problem z tym fragmentem:
\(\displaystyle{ y^{-2}xy^{2}=y^{-1}(y^{-1}xy)y=y^{-1}x^{2}y=(y^{-1}xy)(y^{-1}xy)=x^{2}x^{2}=x}\),
a konkretniej:
\(\displaystyle{ y^{-1}x^{2}y=(y^{-1}xy)(y^{-1}xy)}\),
jak z wyrażenia po lewej otrzymaliśmy wyrażenie po prawej?


Bardzo proszę o pomoc.

[szw1710]

Raz oznaczasz element neutralny przez \(\displaystyle{ e}\), a raz przez \(\displaystyle{ 1.}\) Zdecyduj się na coś. Ja zdecyduję się na \(\displaystyle{ e.}\)

Mamy \(\displaystyle{ xy=y^2x.}\) Mnożymy to z prawej strony przez \(\displaystyle{ x.}\) Dostajemy \(\displaystyle{ xyx=y^2xx=y^2x^2=y^2e=y^2}\), bo \(\displaystyle{ x^2=e.}\)

W podobnym tonie analizuj wszystkie te warunki. Odpowiednie przemnażanie z lewej czy prawej, łączność działania. Tak liczy się w grupach. A trzeba to robić ostrożnie, gdyż nie zakłada się przemienności działania.

[a4karo]

Podpunkty a i b nie mają że da nic wspólnego. To dwa różne zadania

[szw1710]

Podpunkty a i b nie mają że da nic wspólnego. To dwa różne zadania

Bardziej chodziło mi o to, że trzeba tak liczyć, żeby wyszło. Próbować różnych sztuczek. Jedną z nich pokazałem, a reszta - zostawmy wysiłki intelektualne autorce wątku.

[zuzkowo]

Dziękuję! Już rozumiem o co chodzi, widzę skąd się biorą poszczególne rzeczy

Co do oznaczeń, to różnią się pewnie dlatego, że są to dwa oddzielne zadania pochodzące z rożnych kolokwiów, a takie rozwiązania otrzymaliśmy od prowadzącego.