Element rzędu 2 grupy, przemienność

[zuzkowo]

\(\displaystyle{ G}\) jest grupą. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ G}\) ma dokładnie jeden element rzędu \(\displaystyle{ 2}\) to element ten jest przemienny z każdym innym.

Wiem, że dowód należy zrobić w taki sposób:
\(\displaystyle{ x}\) - jedyny element rzędu 2
\(\displaystyle{ y}\) dowolny element \(\displaystyle{ G}\)
Wtedy \(\displaystyle{ (yxy^{-1})^{2}=yx^{2}y^{-1}=e}\) oraz \(\displaystyle{ yxy^{-1} \neq e.}\)
Zatem \(\displaystyle{ yxy^{-1}}\) ma rząd \(\displaystyle{ 2}\),
a zatem na mocy jedyności
\(\displaystyle{ yxy^{-1}=x}\)
co daje
\(\displaystyle{ yx=xy}\).

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć, jak najbardziej łopatologicznie, skąd biorą się kolejne rzeczy w tym dowodzie?

[Jan Kraszewski]

A z którym fragmentem masz problem?

JK

[zuzkowo]

Nie wiem skąd bierzemy \(\displaystyle{ (yxy^{-1})^{2}}\) i dlaczego otrzymujemy z tego \(\displaystyle{ yx^{2}y^{-1}}\)?
Wszystko, co dzieje się dalej rozumiem.

[Jan Kraszewski]

Nie wiem skąd bierzemy \(\displaystyle{ (yxy^{-1})^{2}}\)

No to jest właśnie pomysł na ten dowód... Bierzemy \(\displaystyle{ (yxy^{-1})^{2}}\) dlatego, że w efekcie dostaniemy to, co chcemy.

i dlaczego otrzymujemy z tego \(\displaystyle{ yx^{2}y^{-1}}\)?

\(\displaystyle{ (yxy^{-1})^{2}=yxy^{-1}\cdot yxy^{-1}=yxexy^{-1}=...}\)

JK

[zuzkowo]

Rozumiem! Myślałam że korzystamy może z jakiejś definicji
Dziękuję bardzo za pomoc!