Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt(\sqrt I) = \sqrt I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest ideałem i \(\displaystyle{ \sqrt I=\left\{ a \in P : (\exists n \in \mathbb N)( a^n \in I)\right\}}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ a \in I \Leftrightarrow a + I}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P/I}\).
Od czego zacząć ? Czy definicja elementu nilpotentnego tutaj jest użyteczna ?

W drugim punkcie chyba chodziło o to, że \(\displaystyle{ a}\) ma należeć do radykału I?

Czy definicja elementu nilpotentnego tutaj jest użyteczna ?

Oczywiście - jak inaczej zrozumiesz polecenie?

Proponuję udowodnić to wprost z definicji - nie ma tu nic trudnego. Zacznij, to pociągniemy to razem

Czy mogę ten zbiór opisać tak :
\(\displaystyle{ \sqrt (\sqrt(I)) = \left\{ a \in P: \exists n \in \mathbb N (a^n)^n \in I\right\}}\)

JakubP-Jzero, nie do końca. Lepiej zapisać tak:
\(\displaystyle{ \sqrt (\sqrt(I)) = \left\{ a \in P: \exists n \in \mathbb N: a^n \in \sqrt I \right\}}\).
Zatem elementy \(\displaystyle{ \sqrt (\sqrt(I))}\) to takie, że istnieje \(\displaystyle{ m \in \NN}\) o tej własności, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ (a^n)^m=a^{nm} \in I}\). No ale to oznacza, że...

Że mamy \(\displaystyle{ (a^m)^n \in \sqrt I}\) ?
Czy, że \(\displaystyle{ \sqrt I \subset \sqrt(\sqrt I)}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt(\sqrt I) \subset \sqrt I}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ \sqrt I = \sqrt(\sqrt I)}\) ?

Nie, że \(\displaystyle{ a \in \sqrt I}\). w takim razie mamy dwie inkluzje, które dają żądaną równość

Dziękuję, a drugi dowód ?
\(\displaystyle{ a \in \sqrt I \Leftrightarrow (\exists n \in \mathbb N)(a^n \in I) \Rightarrow a^n+I=I \Rightarrow a^n+I=(a+I)^n=I \Rightarrow a+I}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P/I}\) ?

JakubP-Jzero pisze:Dziękuję, a drugi dowód ?
\(\displaystyle{ a \in \sqrt I \Leftrightarrow (\exists n \in \mathbb N)(a^n \in I) \Rightarrow a^n+I=I \Rightarrow a^n+I=(a+I)^n=I \Rightarrow a+I}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P/I}\) ?

Tak , tam wszędzie mamy równoważności