Przykład skończonej grupy abelowej

[lilith123]

Witam, proszę o pomoc z następującymi zadaniami:

Zad 1
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których prawdziwe jest następujące zdanie:
Istnieje skończona grupa abelowa (przemienna) oraz takie jej elementy \(\displaystyle{ a, b}\) rzędów odpowiednio \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 10}\), że element \(\displaystyle{ ab}\) ma rząd \(\displaystyle{ n}\).

Zad 2
Podać przykład skończonej grupy abelowej (przemiennej) oraz takich jej
elementów \(\displaystyle{ a, b}\) rzędu \(\displaystyle{ 12}\), że element \(\displaystyle{ ab}\) ma rząd \(\displaystyle{ 4}\).


Permutacje oraz grupy izometrii własnych n-kąta foremnego nie są przemienne, zatem może przykład powinien być w macierzach lub przestrzeniach liniowych?

[arek1357]

Permutacje oraz grupy izometrii własnych n-kąta foremnego nie są przemienne, zatem może przykład powinien być w macierzach lub przestrzeniach liniowych?

Coś tu zgrzyta między zębami, treść zadania z z tym co napisałaś, skoro grupa abelowa a Ty piszesz o jakiś macierzach czy przestrzeniach liniowych jak przestrzeń liniowa to raczej nie grupa...

w końcu przemienna lub nieprzemienna, skoro np. w pierwszym rząd a wynosi 6 a rząd b wynosi 10 a grupa przemienna to już:

\(\displaystyle{ (ab)^{30}=1}\)

[lilith123]

Dziękuję, a masz może pomysł na jakiś przykład do zadania 2?

[arek1357]

\(\displaystyle{ \ZZ_{4} \times \ZZ_{24}}\)

\(\displaystyle{ rz(2,2)=12}\)

\(\displaystyle{ rz(3,4)=12}\)

\(\displaystyle{ (2,2)+(3,4)=(1,6)}\)

\(\displaystyle{ rz(1,6)=4}\)

[lilith123]

Mógłbyś opisać skąd to się wzięło?

[arek1357]

ale co, to jest grupa abelowa \(\displaystyle{ \rightarrow \ZZ_{4} \times \ZZ_{24}}\)

Połączona iloczynem kartezjańskim grup modulo:

\(\displaystyle{ \ZZ_{4}=\left\{ 0,1,2,3\right\}}\)

oraz:

\(\displaystyle{ \ZZ_{24}=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23\right\}}\)

z dodawaniem modulo...

[Przybyl]

\(\displaystyle{ \ZZ_{4} \times \ZZ_{24}}\)

\(\displaystyle{ rz(2,2)=12}\)

\(\displaystyle{ rz(3,4)=12}\)

\(\displaystyle{ (2,2)+(3,4)=(1,6)}\)

\(\displaystyle{ rz(1,6)=4}\)

Mógłby ktoś rozpisać to zadanie ? Nie bardzo rozumiem

[Gosda]

Arek wziął dwie grupy cykliczne, rzędu cztery i dwadzieścia cztery, a następnie postanowił zająć się ich sumą prostą \(\displaystyle{ (\mathbb Z / 4 \mathbb Z) \oplus (\mathbb Z / 24 \mathbb Z)}\). Elementami tej sumy prostej są pary, a działanie zdefiniowane jest po współrzędnych:

\(\displaystyle{ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}\)

gdzie \(\displaystyle{ a, c \in \mathbb Z / 4 \mathbb Z}\), \(\displaystyle{ b, d \in \mathbb Z / 24 \mathbb Z}\). Następnie wskazane zostały dwa elementy których rzędy to dwanaście (bo żadna ich krotność mniejsza niż 12 nie daje elementu neutralnego), natomiast ich suma ma rząd cztery, tak jak proszono w zadaniu.