Czy grupa rzędu 30 jest prosta?

[MKultra]

Cześć!

Jak w temacie: Czy grupa rzędu \(\displaystyle{ 30}\) jest prosta?

Mam przesłanki, że trzeba użyć następujące twierdzenia:
1.liczba wszystkich \(\displaystyle{ p}\)-podgrup Sylowa grupy \(\displaystyle{ G}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ p}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\).
2.Jeżeli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli rząd grupy \(\displaystyle{ G}\) to liczba wszystkich \(\displaystyle{ p}\)-podgrup Sylowa grupy \(\displaystyle{ G}\) dzieli rząd \(\displaystyle{ G}\).

Po obliczeniach wychodzi, że liczba \(\displaystyle{ 5}\)-podgrup Sylowa jest równa \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 6}\), a liczba \(\displaystyle{ 3}\)-podgrup Sylowa wynosi \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 10}\).

I nie wiem co z tym dalej zrobić.

Będę wdzięczny gdy mi ktoś pomoże.

Pozdrawiam.

[karolex123]

To zadanie jest łatwe, jeśli rozumiemy dobrze strukturę \(\displaystyle{ p}\)- grup.
W grupie \(\displaystyle{ G}\) rzędu \(\displaystyle{ 30}\) każda \(\displaystyle{ p}\)- podgrupa Sylowa jest cykliczna, izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ_p}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ G}\) jest prosta. Wówczas z tw. Sylowa wynika że liczba \(\displaystyle{ 3}\)- podgrup Sylowa wynosi \(\displaystyle{ 10}\), zaś \(\displaystyle{ 5}\)- podgrup wynosi \(\displaystyle{ 6}\) (żadna z tych liczb nie jest równa \(\displaystyle{ 1}\), bo gdyby była, to ta jedyna podgrupa Sylowa byłaby normalna).
Wskazówka do końcówki rozumowania jest taka: jak się przecinają różne podgrupy izomorficzne z \(\displaystyle{ \ZZ_p}\)??