Grupa rzędu 100 zawiera dzielnik normalny rzędu 25.

[MKultra]

Cześć.

Jak w temacie udowodnij, że grupa rzędu \(\displaystyle{ 100}\) zawiera dzielnik normalny rzędu \(\displaystyle{ 25}\).

Trzeba użyć dwóch twierdzeń związanych z twierdzeniem Sylowa:
1.liczba wszystkich \(\displaystyle{ p}\)-podgrup Sylowa grupy \(\displaystyle{ G}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ p}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\).
2.Jeżeli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli rząd grupy \(\displaystyle{ G}\) to liczba wszystkich \(\displaystyle{ p}\)-podgrup Sylowa grupy \(\displaystyle{ G}\) dzieli rząd \(\displaystyle{ G}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ 100=5 ^{2}\cdot 4}\) oraz po kilku kalkulacjach wynika, że liczba wszystkich \(\displaystyle{ 5}\)-podgrup Sylowa grupy G wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

I nie wiem co z tym dalej zrobić (a mam przesłanki, że to powinno coś dać)

Pozdrawiam.

[karolex123]

Skoro Ci wyszło, że jest tylko jedna \(\displaystyle{ 5}\)- podgrupa Sylowa, no to weź dowolny automorfizm Twojej grupy; co musi być obrazem naszej podgrupy Sylowa? Wywnioskuj potem tezę