Orbity podgrupy.

[MKultra]

Cześć!

Dane jest zadanie:
Niech grupa \(\displaystyle{ G}\) działa w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) i niech \(\displaystyle{ H}\) będzie podgrupą grupy \(\displaystyle{ G}\) . Wykazać, że orbita dowolnego elementu zbioru \(\displaystyle{ X}\) względem działania grupy \(\displaystyle{ G}\) jest sumą teoriomnogościową pewnych orbit względem działania grupy \(\displaystyle{ H}\).

Dziękuje z góry za pomoc.

[leg14]

Masz duże łaty i małe łaty. Obydwie kolekcje pokrywają pewną przestrzeń. Czy stwierdzenie, że każda mała łatwa zawiera się w całości w dużej daje Ci "Każda duża łata jest sumą małych łat"?

[arek1357]

Wystarczy zauważyć, że podgrupa trywialna:

\(\displaystyle{ e}\) przekształca każdy punkt na ten sam punkt zbioru \(\displaystyle{ X}\)...

Suma teriomnogościowa da oczywiście cały zbiór X...

[leg14]

No ale kolega ma to pokazać dla dowolnej podgrupy

[arek1357]

Ja to wiem ale element neutralny jest w każdej podgrupie i działa na elementy zbioru w sposób pasywny więc wystarczy wziąć całą potrzebną orbitę właśnie z niego...

[leg14]

Mylisz orbite elementu przestrzeni z orbita elementu grupy ;/

[arek1357]

Przecież wybór jest dowolny a ja z uporem maniaka wybieram element neutralny, który jest elementem każdej podgrupy i wygeneruje mi wszystko...

[leg14]

Mylisz orbite elementu przestrzeni z orbita elementu grupy ;/

[arek1357]

Mylisz orbite elementu przestrzeni z orbita elementu grupy ;/

Jakiej przestrzeni w zadaniu o przestrzeni nikt nie wspomina tylko o zbiorze X...

[leg14]

no dla mnie przestrzen = zbior X

[arek1357]

No tu cały czas biega o orbity elementów zbioru X cały czas się trzymam tego samego...

[leg14]

Orbity to są klasy abstrakcji relacji równoważności \(\displaystyle{ x,y \in X; x \sim y \Leftrightarrow \exists _{g \in G} g \cdot y =x}\).

Mając tę definicję powiedz jeszcze raz o co Ci chodzi z tym elementem neutralnym.

[arek1357]

To akurat wiem i nie widzę żadnej sprzeczności...

Weź sobie H jako podgrupę trywialną i o to mi chodzi...

[leg14]

No ja Cię Arku proszę żebyś teraz ściśle napisał co masz na myśli

edit:
no ale nie możesz wziąć podgrupy trywialnej - przecież właśnie o to chodzi w zadaniu, że nie wiesz jaką podgrupą jest \(\displaystyle{ H}\)!
Zmiana podgrupy powoduje zmianę orbit

[arek1357]

Trywialna wygeneruje Ci całe X i o to mi cały czas biega a trywialna znajduje się w każdej więc w każdym przypadku biorę element neutralny co wygeneruje mi tak czy siak X...