Czy cykle tworzą grupę?

[Unforg1ven]

Czy cykle \(\displaystyle{ \gamma=(1,2,6,5)}\) i \(\displaystyle{ \sigma= (2,3,5,4)}\) generują grupę \(\displaystyle{ S_6}\) ?

Jakby nie rozumiem tego zadania na poziomie ideowym. Czy "generować grupę" tutaj oznacza że złożenie \(\displaystyle{ \sigma}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) da nam cykl \(\displaystyle{ a=(1,2,3,4,5,6)}\)(lub dowolną permutacje a) w jednym z przypadków \(\displaystyle{ \sigma \circ \gamma}\) lub \(\displaystyle{ \gamma \circ \sigma}\) ?

[PoweredDragon]

No z definicji generatorów. Grupa generowana przez elementy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to grupa elementów postaci \(\displaystyle{ a^n b^m}\) gdzie potęgowanie jest ze względu na działanie wewnętrzne w grupie. \(\displaystyle{ m, n \in \mathbb Z}\).

Pytanie można zadać, czy złożenia \(\displaystyle{ \gamma^n \sigma^m}\) generują wszystkie elementy \(\displaystyle{ S_6}\) i tylko elementy \(\displaystyle{ S_6}\)

[Dasio11]

Grupa generowana przez elementy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to grupa elementów postaci \(\displaystyle{ a^n b^m}\) gdzie potęgowanie jest ze względu na działanie wewnętrzne w grupie. \(\displaystyle{ m, n \in \mathbb Z}\).

Tak jest tylko dla grup przemiennych. Ogólnie jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą a \(\displaystyle{ A \subseteq G}\) jest dowolnym podzbiorem, to podgrupą generowaną przez \(\displaystyle{ A}\) nazywamy najmniejszą ze względu na zawieranie podgrupę \(\displaystyle{ G_A \le G}\), taką że \(\displaystyle{ A \subseteq G_A}\). Podgrupę generowaną przez \(\displaystyle{ A}\) oznaczamy \(\displaystyle{ \left< A \right>}\). Można ją opisać jawnie:

\(\displaystyle{ \left< A \right> = \big\{ a_1^{\varepsilon_1} \cdot \ldots \cdot a_n^{\varepsilon_n} : n \in \NN, a_1, \ldots, a_n \in A, \varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n \in \{ -1, 1 \} \big\}.}\)

Innymi słowy, podgrupę \(\displaystyle{ \left< A \right>}\) tworzą wszystkie możliwe iloczyny elementów \(\displaystyle{ A}\) i ich odwrotności.

W zadaniu chodzi więc o rozstrzygnięcie, czy dowolny element \(\displaystyle{ S_6}\) można przedstawić w postaci pewnego iloczynu \(\displaystyle{ \gamma}\) i \(\displaystyle{ \sigma}\) i ich odwrotności, na przykład \(\displaystyle{ \gamma^2 \circ \sigma^{-1} \circ \gamma^{-3} \circ \sigma^5}\).

[PoweredDragon]

Grupa generowana przez elementy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to grupa elementów postaci \(\displaystyle{ a^n b^m}\) gdzie potęgowanie jest ze względu na działanie wewnętrzne w grupie. \(\displaystyle{ m, n \in \mathbb Z}\).

Tak jest tylko dla grup przemiennych.

Faktycznie. Zapomniałem kompletnie o przemienności No to zostaje chyba kwestia domnażania z prawej, czyli \(\displaystyle{ a^n b^m a^k}\) gdzie \(\displaystyle{ m, n, k \in \ZZ}\) i teraz chyba się zgadza (ten szczególny przypadek)?

[Dasio11]

A potrafisz to pokazać?

[PoweredDragon]

Pewnie znając mnie nie, ale ja kuleję z dowodami algebraicznymi dużo bardziej niż z intuicją (która równie często zawodzi). Pewnie to było coś na zasadzie przedstawiania iloczynów \(\displaystyle{ a^{k_1} b^{l_1} a^{k_2} b^{l_3} ... a^{k_n} b^{l_n}}\)

I jakoś tam domnażało się prawo i lewo stronnie, żeby otrzymywać jedynki i skracać jakoś


Mogę się mylić, chętnie poznam grupę nieprzemienną generowaną przez 2 elementy niespełniającą tej tezy :V

[Dasio11]

A może być grupa wolna o dwóch generatorach? :p

Jeśli nie, to rozważ podgrupę \(\displaystyle{ G \le S_n}\) generowaną przez elementy

\(\displaystyle{ \sigma = (1 \ 2)(3 \ 4) \ldots (2n-1 \ 2n) \\
\tau = (2 \ 3)(4 \ 5) \ldots (2n-2 \ 2n-1).}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \sigma^2 = \tau^2 = \mathrm{id}}\), więc parami różnych elementów postaci \(\displaystyle{ \sigma^n \tau^m \sigma^k}\) jest najwyżej \(\displaystyle{ 8}\), a podgrupa ma więcej elementów, bo działa tranzytywnie na zbiorze \(\displaystyle{ \{ 1, \ldots, n \}}\), czyli dla każdego \(\displaystyle{ i \in \{ 1, \ldots, n \}}\) istnieje \(\displaystyle{ g \in G}\), takie że \(\displaystyle{ g(1) = i}\).

[arek1357]

Jeżeli te cykle zapiszemy jako permutacje to widać, że należą do tej samej klasy sprzężoności

Raczej ciężko by było im wygenerować całą grupę \(\displaystyle{ S_{6}}\)

Nawet cyklu o długości 5 nie widzę, żeby wygenerowały...


\(\displaystyle{ \gamma=(1265)(3)(4)}\)

\(\displaystyle{ \sigma=(2354)(1)(6)}\)