Udowodnij, że dane grupy są izomorficzne.

[MKultra]

Cześć!

Mógłby ktoś pomóc mi w rozwiązaniu następującego zadania:
Udowodnij izomorfizm: \(\displaystyle{ Aut(\QQ)\simeq \QQ ^{*}}\)

Z góry dzięki za pomoc.

[karolex123]

Wskazówka: niech \(\displaystyle{ \phi \in Aut(\QQ)}\) i niech \(\displaystyle{ \phi(1)=a}\), \(\displaystyle{ a \neq 0}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \phi(x)=ax}\), dla każdego \(\displaystyle{ x \in \QQ}\).

[arek1357]

Tylko , że automorfizm ciała przenosi jedynkę na jedynkę...

[Jan Kraszewski]

Tylko , że automorfizm ciała przenosi jedynkę na jedynkę...

A skąd Ty ciało wytrzasnąłeś?!

JK

[karolex123]

Tylko , że automorfizm ciała przenosi jedynkę na jedynkę...

wiem o tym
Ale \(\displaystyle{ \QQ}\) oznacza tu najpewniej addytywną grupę liczb wymiernych-- 4 sty 2019, o 16:51 --a jeśli chodzi o automorfizmy ciała liczb wymiernych, to nie są one zbyt ciekawe..

[PoweredDragon]

a jeśli chodzi o automorfizmy ciała liczb wymiernych, to nie są one zbyt ciekawe..

Ogólnie automorfizmy ciał prostych są nudne...

[karolex123]

a jeśli chodzi o automorfizmy ciała liczb wymiernych, to nie są one zbyt ciekawe..

Ogólnie automorfizmy ciał prostych są nudne...

Nie uwłaczając jakże ważnemu automorfizmowi identycznościowemu..

[arek1357]

A skąd Ty ciało wytrzasnąłeś?!

Raczej Q to ciało...

[PoweredDragon]

A skąd Ty ciało wytrzasnąłeś?!

Raczej Q to ciało...

Raczej Q to pierścień przemienny z jedynką...

Jak dla mnie, zależy na to na co patrzymy. Ja patrzę na temat i widzę dwie grupy

[karolex123]

PoweredDragon, \(\displaystyle{ \QQ}\) jako zbiór liczb wymiernych z działaniami dodawnia i mnożenia (oraz odpowiednimi elementami neutralnymi) jest ciałem

Jak dla mnie interpretacja jest jasna- teza zadania jest prawdziwa, jeśli traktujemy \(\displaystyle{ \QQ}\) jako addytywną grupę liczb wymiernych

[PoweredDragon]

PoweredDragon, \(\displaystyle{ \QQ}\) jako zbiór liczb wymiernych z działaniami dodawnia i mnożenia (oraz odpowiednimi elementami neutralnymi) jest ciałem

Jak dla mnie interpretacja jest jasna- teza zadania jest prawdziwa, jeśli traktujemy \(\displaystyle{ \QQ}\) jako addytywną grupę liczb wymiernych

Ja doskonale wiem, że \(\displaystyle{ (\QQ, +, \cdot, 0, 1)}\) to ciało. Ale kierowanie się tym, że to ciało w trakcie rozważań nad teorią grup lub pierścieni, powoduje tylko problemy :V Wszystko zależy od tego, w jakim dziale siedzimy.

Dla jednego \(\displaystyle{ \QQ}\) to zbiór, dla innego \(\displaystyle{ \QQ}\) to \(\displaystyle{ (\QQ, +, 0)}\) lub \(\displaystyle{ (\QQ, \cdot, 1)}\), czyli grupa multiplikatywna/addytywna (zapisane w odwrotnej kolejności), dla kogoś jeszcze pierścień przemienny z jedynką, dzieleniem i bez dzielników zera, ciało (jw.), "najmniejsze" podciało \(\displaystyle{ \mathbb R}\), itd. Wszystkie powyższe stwierdzenia są prawdziwe.

Autor prosił o grupę, więc rozpatrywanie \(\displaystyle{ \QQ}\) jako ciała może być ograniczające (lub w innych przypadkach pewnie nadmierne)

[Jan Kraszewski]

No zaraz, w tytule mamy: "Udowodnij, że dane grupy są izomorficzne".

JK

[Dasio11]

Ale mowa o izomorfizmie grup \(\displaystyle{ \mathrm{Aut}(\QQ)}\) i \(\displaystyle{ \QQ^*}\), więc nie wynika z tego, że \(\displaystyle{ \QQ}\) musi być grupą. Syntaktycznie zadanie miałoby sens nawet, gdyby chodziło o automorfizmy \(\displaystyle{ (\QQ, \le)}\) - tylko wtedy teza nie byłaby prawdziwa.

[arek1357]

Ale kierowanie się tym, że to ciało w trakcie rozważań nad teorią grup lub pierścieni, powoduje tylko problemy :V Wszystko zależy od tego, w jakim dziale siedzimy.

Bardzo dziwne podejście. Przypomina mi to, że jak siedzę np. między ludźmi to jestem człowiekiem a jak wejdę do stajni to będę koniem a jak wejdę na asfalt to będę asfaltem...

Q w tym zadaniu od początku było ciałem dla mnie czyli takim super uprzywilejowanym pierścieniem...

A jeżeli ciałem to automorfizm są trywialny...