Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]
\qquad}\) należy do ideału I - pierścienia \(\displaystyle{ M_n(\mathbb{R})}\) , to macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & a
\end{array}
\right]
\qquad}\) też należy do I.

Jeśli macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]
\qquad}\) należy do I, to oznacza, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) również należą do I ?
Jeśli tak, to z własności ideałów wiemy, że \(\displaystyle{ a-a = 0}\) również należy do ideału, a skoro tak to macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & a
\end{array}
\right]
\qquad}\) też należy do I ?
Czy taki tok rozumowania jest poprawny i wystarczający ?

JakubP-Jzero pisze:Jeśli macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]
\qquad}\) należy do I, to oznacza, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) również należą do I ?

No skąd! Przecież elementami ideału \(\displaystyle{ I}\) są macierze, a nie liczby.

JK

W jaki więc sposób przeprowadzić rozumowanie ?

Wskazówka: zauważyć, że macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0\\ -c & 0 \end{array} \right] \qquad}\) należy do \(\displaystyle{ I}\). Skonstruować podobne macierze w \(\displaystyle{ I}\) i okazać, że macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right] \qquad}\) należy do \(\displaystyle{ I}\)

Dlaczego taka macierz tam należy ? Przez jaką macierz muszę pomnożyć ?

przemnóż daną macierz z prawej strony przez \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right] \qquad}\). następnie otrzymaną macierz możesz dodać do wyjściowej, bo to jest ideał. Dalej już łatwo