Udowodnić, że jeśli macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]
\qquad}\) należy do ideału I - pierścienia \(\displaystyle{ M_n(\mathbb{R})}\) , to macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & a
\end{array}
\right]
\qquad}\) też należy do I.
Jeśli macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]
\qquad}\) należy do I, to oznacza, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) również należą do I ?
Jeśli tak, to z własności ideałów wiemy, że \(\displaystyle{ a-a = 0}\) również należy do ideału, a skoro tak to macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & a
\end{array}
\right]
\qquad}\) też należy do I ?
Czy taki tok rozumowania jest poprawny i wystarczający ?
Jeśli macierz należy do ideału
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Jeśli macierz należy do ideału
No skąd! Przecież elementami ideału \(\displaystyle{ I}\) są macierze, a nie liczby.JakubP-Jzero pisze:Jeśli macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]
\qquad}\) należy do I, to oznacza, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) również należą do I ?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Jeśli macierz należy do ideału
Wskazówka: zauważyć, że macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0\\ -c & 0 \end{array} \right] \qquad}\) należy do \(\displaystyle{ I}\). Skonstruować podobne macierze w \(\displaystyle{ I}\) i okazać, że macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right] \qquad}\) należy do \(\displaystyle{ I}\)
jak o tym myśleć:
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Jeśli macierz należy do ideału
Dlaczego taka macierz tam należy ? Przez jaką macierz muszę pomnożyć ?
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Jeśli macierz należy do ideału
przemnóż daną macierz z prawej strony przez \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right] \qquad}\). następnie otrzymaną macierz możesz dodać do wyjściowej, bo to jest ideał. Dalej już łatwo