Jeśli macierz należy do ideału

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Jeśli macierz należy do ideału

Post autor: JakubP-Jzero » 13 gru 2018, o 18:28

Udowodnić, że jeśli macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right] \qquad}\) należy do ideału I - pierścienia \(\displaystyle{ M_n(\mathbb{R})}\) , to macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & a \end{array} \right] \qquad}\) też należy do I.

Jeśli macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right] \qquad}\) należy do I, to oznacza, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) również należą do I ?
Jeśli tak, to z własności ideałów wiemy, że \(\displaystyle{ a-a = 0}\) również należy do ideału, a skoro tak to macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & a \end{array} \right] \qquad}\) też należy do I ?
Czy taki tok rozumowania jest poprawny i wystarczający ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26530
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4439 razy

Jeśli macierz należy do ideału

Post autor: Jan Kraszewski » 13 gru 2018, o 18:58

JakubP-Jzero pisze:Jeśli macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right] \qquad}\) należy do I, to oznacza, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) również należą do I ?
No skąd! Przecież elementami ideału \(\displaystyle{ I}\) są macierze, a nie liczby.

JK

JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Jeśli macierz należy do ideału

Post autor: JakubP-Jzero » 13 gru 2018, o 19:07

W jaki więc sposób przeprowadzić rozumowanie ?

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 728
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 124 razy

Re: Jeśli macierz należy do ideału

Post autor: karolex123 » 13 gru 2018, o 21:33

Wskazówka: zauważyć, że macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0\\ -c & 0 \end{array} \right] \qquad}\) należy do \(\displaystyle{ I}\). Skonstruować podobne macierze w \(\displaystyle{ I}\) i okazać, że macierz \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right] \qquad}\) należy do \(\displaystyle{ I}\)
jak o tym myśleć:    

JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Jeśli macierz należy do ideału

Post autor: JakubP-Jzero » 13 gru 2018, o 22:01

Dlaczego taka macierz tam należy ? Przez jaką macierz muszę pomnożyć ?

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 728
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 124 razy

Re: Jeśli macierz należy do ideału

Post autor: karolex123 » 13 gru 2018, o 22:32

przemnóż daną macierz z prawej strony przez \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right] \qquad}\). następnie otrzymaną macierz możesz dodać do wyjściowej, bo to jest ideał. Dalej już łatwo

ODPOWIEDZ