Matematyka.pl

Czy działanie: \(\displaystyle{ x () y := x + y + xy}\) jest grupą w liczbach rzeczywistych? MAm problem z wyznaczeniem elementu neutralnego i odwrotnego. Bo element neutralny wyszedł mi dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\). I nie wiem czy to od razu skreśla warunek grupy.

Czy działanie: x () y := x + y + xy jest grupą w liczbach rzeczywistych?

Otóż na pewno nie jest działanie grupą.: odp. negatywna...

Bo element neutralny wyszedł mi dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\).

Po pierwsze to jeśli element neutralny jest niezerowy to o niczym nie świadczy a po drugie w tej strukturze elementem neutralnym właśnie jest \(\displaystyle{ 0}\) bo \(\displaystyle{ \left( \right)}\) jest symetryczne oraz

\(\displaystyle{ \forall \left( x\in\RR\right)\left( 0\left( \right)x=x \right)}\)

Ale można sobie zadać pytanie czy każdy z elementów \(\displaystyle{ \RR}\) ma odwrotny. W szczególności czy istnieje element odwrotny do \(\displaystyle{ -1}\). Jeśli by istniał (oznaczmy \(\displaystyle{ x}\)) to było by:

\(\displaystyle{ x\left( \right)1=0}\)

czyli

\(\displaystyle{ x-1-x=0}\)

\(\displaystyle{ -1=0}\)

A to sprzeczność z założeniem o istnieniu elementu odwrotnego dla \(\displaystyle{ -1}\). To jest wystarczające by nie uznać tego za grupę.

Jednak najpierw niech nauczy się zadawać sensowne pytania...