Pokaż, że G ma min. 6 elementów

[VirtualUser]

Grupa \(\displaystyle{ (G, \diamond )}\) ma skończenie wiele elementów i \(\displaystyle{ \diamond}\) nie jest przemienne. Pokaż, że \(\displaystyle{ G}\) ma minimum \(\displaystyle{ 6}\) elementów.

Próbuje to udowodnić, sprawdzając kolejno dla liczebności równej 0 1 2 ... Że nie spełniają aksjomatów grupy, lecz nie zupełnie mi to nie idzie..
Czy jakaś dobra dusza mogłaby pomóc zielonemu w temacie?

[Zordon]

Przykładowo, jeśli \(\displaystyle{ G}\) ma \(\displaystyle{ 5}\) elementów, to z tw. Lagrange'a każdy jej element ma rząd \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 5}\). Skoro istnieje tylko jeden element rzędu \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ G}\) to istnieje element \(\displaystyle{ x\in G}\) o rzędzie \(\displaystyle{ 5}\).

Wtedy \(\displaystyle{ e,x,x^2,x^3,x^4}\) to parami różne elementy w \(\displaystyle{ G}\), a zatem \(\displaystyle{ G=\{e,x,x^2,x^3,x^4\}}\). Innymi słowy \(\displaystyle{ G}\) jest izomorficzna z grupą cykliczną rzędu \(\displaystyle{ 5}\). Łatwo zatem widać że działanie jest przemienne gdyż

\(\displaystyle{ x^n \cdot x^k = x^{n+k} = x^k \cdot x^n.}\)

Podobnie można to zrobić dla grup trzyelementowych i dwuelementowych. Jedyny nietrywialny przypadek to \(\displaystyle{ |G|=4}\). Wtedy trzeba rozważyć dwa przypadki: albo \(\displaystyle{ G}\) posiada element rzędu \(\displaystyle{ 4}\) albo nie posiada...

[a4karo]

Ćwiczenie

Pokaż, że jest tylko jedna grupa rzędu 1,2,3,5 i wszystkie sa przemienne (to jest proste)
Pokaż, że są tylko dwie grupy rzedu 4 i obie są przemienne (to jest tylko troszeczkę skomplikowane
Pokaż, że istnieje grupa rzędu 6, która nie jest abelowa (popatrz na trójkąt)

[VirtualUser]

A czy da się to zrobić bez pojęcia rzędu? Są to pierwsze zajęcia i nic z tego nie mieliśmy wprowadzane więc podejrzewam, że da się to ominąć

[a4karo]

Nie sądzę, żeby na pierwszych zajęciach nie było pojęcia rzędu grupy i rzędu elementu. NO chyba, że zajęcia trwały 30 minut

[VirtualUser]

Nie sądzę, żeby na pierwszych zajęciach nie było pojęcia rzędu grupy i rzędu elementu. NO chyba, że zajęcia trwały 30 minut

Nie trwały a jednak nie było

[karolex123]

Potrafiłbyś pokazać, że każda grupa rzędu \(\displaystyle{ p}\) (czyli liczności \(\displaystyle{ p}\)), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \mathbb Z_p}\) ? Ta ostatnia jest oczywiście abelowa jako cykliczna