Ideały maksymalne

[zuzkowo]

Witam, proszę o pomoc w zadaniu na sprawdzenie, czy dany ideał jest maksymalny.

a) \(\displaystyle{ I= \left( 6 \right)}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ_{12}}\)

Czy wystarczy napisać, że \(\displaystyle{ 6=2 \cdot 3}\), a w związku z tym ideał jest rozkładalny, więc nie jest pierwszy. Zatem ideał nie jest maksymalny, gdyż każdy ideał maksymalny jest pierwszy?

b) \(\displaystyle{ I= \left( x^2-2 \right)}\) w \(\displaystyle{ \RR \left[ x \right]}\)

Na ten przykład nie mam pomysłu...

[Kaf]

a) Tak
b) Możesz zrobić to samo co w a). Rozłóż generator tego ideału (czyli \(\displaystyle{ x^2-2}\)) na czynniki w \(\displaystyle{ \RR \left[ x \right]}\)

[zuzkowo]

Faktycznie! Za dużo kombinowałam dziękuję!

A biorąc pod uwagę przykład b), ale w \(\displaystyle{ \QQ[x]}\). To oprócz tego, że \(\displaystyle{ \QQ[x]}\) jest \(\displaystyle{ DIG}\) jak inaczej można napisać/udowodnić, że ten ideał jest maksymalny?

[Kaf]

Tak. Żeby nie psuć zabawy, rozbiję to na wskazówki: rozważ homomorfizm \(\displaystyle{ \varphi \colon \QQ[x]\to \QQ \left[ \sqrt2 \right]}\) dany wzorem
\(\displaystyle{ \varphi \left( f\right) =f\left( \sqrt2 \right)}\)

Wskazówka 1.:    

To jest epimorfizm

Wskazówka 2.:    

Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie

Wskazówka 3.:    

\(\displaystyle{ \QQ \left[ \sqrt2 \right]}\) jest ciałem