Cześć!
Proszę o pomoc w zrozumieniu jak wyznacza się warstwy pierścienia względem ideału?
Weźmy dla przykładu zadanie: Wyznaczyć warstwy pierścienia \(\displaystyle{ \ZZ_{2} [X]}\) względem jego ideału \(\displaystyle{ I=(X^2+1)\ZZ_{2}[X]}\).
Nie mam pojęcia o co chodzi z resztami dzielenia. Czy jest prostszy sposób na wyznaczanie tych warstw?
Dziękuję z góry za pomoc!
Warstwy pierścienia względem ideału
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Warstwy pierścienia względem ideału
Żeby napisać kompletne rozwiązanie, nie można uniknąć dzielenia wielomianów (lub czegoś na podobnym poziomie trudności). Ale żeby załapać, o co chodzi, możesz wypisać możliwie dużo wielomianów w \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) i zbadać, które z nich leżą w tej samej warstwie. Na początek, potrafisz opisać zbiór wszystkich wielomianów w \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) ?
Re: Warstwy pierścienia względem ideału
Szczerze mówiąc nie bardzo...
Ostatnio zmieniony 29 sie 2018, o 13:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Re: Warstwy pierścienia względem ideału
Wiem, że współczynnikami mogą być \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\). Ale nie mam pojęcia jak wyznaczyć wszystkie te wielomiany..
Wiem też, że będą cztery warstwy: \(\displaystyle{ I, 1+I, x+I, (1+x)+I}\). W innych przykładach wypisuję warstwy „intuicyjnie”, ale chciałabym zrozumieć skąd one się biorą.
Wiem też, że będą cztery warstwy: \(\displaystyle{ I, 1+I, x+I, (1+x)+I}\). W innych przykładach wypisuję warstwy „intuicyjnie”, ale chciałabym zrozumieć skąd one się biorą.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Warstwy pierścienia względem ideału
Czyli wielomian o współczynnikach w \(\displaystyle{ \ZZ_2}\) to wyrażenie
\(\displaystyle{ a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n}\),
gdzie \(\displaystyle{ a_i \in \ZZ_2}\). A \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) to zbiór wszystkich takich wielomianów.
Warstwy \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) względem ideału \(\displaystyle{ I = (X^2+1) \ZZ_2[X]}\) to klasy abstrakcji relacji
\(\displaystyle{ R(a, b) \iff a - b \in I \iff a-b \text{ dzieli się przez } X^2+1}\).
Należy zatem postępować podobnie jak przy wyznaczaniu klas abstrakcji względem dowolnej innej relacji równoważności, czyli wypisać kilka elementów zbioru i pogrupować je w klasy abstrakcji, a przy okazji starać się zauważyć regularność, żeby potem dokonać uogólnienia. Spróbuj znaleźć klasy abstrakcji wszystkich wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 0, 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n}\),
gdzie \(\displaystyle{ a_i \in \ZZ_2}\). A \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) to zbiór wszystkich takich wielomianów.
Warstwy \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) względem ideału \(\displaystyle{ I = (X^2+1) \ZZ_2[X]}\) to klasy abstrakcji relacji
\(\displaystyle{ R(a, b) \iff a - b \in I \iff a-b \text{ dzieli się przez } X^2+1}\).
Należy zatem postępować podobnie jak przy wyznaczaniu klas abstrakcji względem dowolnej innej relacji równoważności, czyli wypisać kilka elementów zbioru i pogrupować je w klasy abstrakcji, a przy okazji starać się zauważyć regularność, żeby potem dokonać uogólnienia. Spróbuj znaleźć klasy abstrakcji wszystkich wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 0, 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).