Warstwy pierścienia względem ideału

[zuzkowo]

Cześć!
Proszę o pomoc w zrozumieniu jak wyznacza się warstwy pierścienia względem ideału?
Weźmy dla przykładu zadanie: Wyznaczyć warstwy pierścienia \(\displaystyle{ \ZZ_{2} [X]}\) względem jego ideału \(\displaystyle{ I=(X^2+1)\ZZ_{2}[X]}\).
Nie mam pojęcia o co chodzi z resztami dzielenia. Czy jest prostszy sposób na wyznaczanie tych warstw?

Dziękuję z góry za pomoc!

[Dasio11]

Żeby napisać kompletne rozwiązanie, nie można uniknąć dzielenia wielomianów (lub czegoś na podobnym poziomie trudności). Ale żeby załapać, o co chodzi, możesz wypisać możliwie dużo wielomianów w \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) i zbadać, które z nich leżą w tej samej warstwie. Na początek, potrafisz opisać zbiór wszystkich wielomianów w \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) ?

[zuzkowo]

Szczerze mówiąc nie bardzo...

[Dasio11]

A jaka jest definicja wielomianu o współczynnikach w \(\displaystyle{ \ZZ_2}\)?

[zuzkowo]

Wiem, że współczynnikami mogą być \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\). Ale nie mam pojęcia jak wyznaczyć wszystkie te wielomiany..

Wiem też, że będą cztery warstwy: \(\displaystyle{ I, 1+I, x+I, (1+x)+I}\). W innych przykładach wypisuję warstwy „intuicyjnie”, ale chciałabym zrozumieć skąd one się biorą.

[Dasio11]

Czyli wielomian o współczynnikach w \(\displaystyle{ \ZZ_2}\) to wyrażenie

\(\displaystyle{ a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n}\),

gdzie \(\displaystyle{ a_i \in \ZZ_2}\). A \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) to zbiór wszystkich takich wielomianów.

Warstwy \(\displaystyle{ \ZZ_2[X]}\) względem ideału \(\displaystyle{ I = (X^2+1) \ZZ_2[X]}\) to klasy abstrakcji relacji

\(\displaystyle{ R(a, b) \iff a - b \in I \iff a-b \text{ dzieli się przez } X^2+1}\).

Należy zatem postępować podobnie jak przy wyznaczaniu klas abstrakcji względem dowolnej innej relacji równoważności, czyli wypisać kilka elementów zbioru i pogrupować je w klasy abstrakcji, a przy okazji starać się zauważyć regularność, żeby potem dokonać uogólnienia. Spróbuj znaleźć klasy abstrakcji wszystkich wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 0, 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).