Ile jest dziekników zera

[zuzkowo]

Witam,
Proszę o pomoc w zadaniu:
Ile jest dzielników zera w \(\displaystyle{ \ZZ_{265}}\)?
Wiem, że \(\displaystyle{ \ZZ_{265}= \ZZ_{5} \times \ZZ_{53}}\). Są to liczby pierwsze, więc dzielnikami zera będą pary: \(\displaystyle{ (k,0)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,...,4}\) i \(\displaystyle{ (0,m)}\) dla \(\displaystyle{ m=1,...,52}\). Zatem dzielników zera byłoby \(\displaystyle{ 4+52=56}\).
I tutaj pytanie, czy parę \(\displaystyle{ (0,0)}\) też należy traktować jako dzielnik zera i wówczas wszystkoch dzielników będzie \(\displaystyle{ 57}\)?

[Kaf]

Tak, element zerowy pierścienia to też dzielnik zera.

[zuzkowo]

Dziękuję!
W takim razie mam jeszcze jedno pytanie, jeśli mamy pierścień \(\displaystyle{ \ZZ_{p} \times \ZZ_{p}}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) - liczba pierwsza, to mamy liczbę dzielników zera: \(\displaystyle{ p-1+p-1=2p-2}\). Idąc rozumowaniem z poprzedniego zadania wynika to z par \(\displaystyle{ (0,p)}\) i \(\displaystyle{ (p,0)}\). Gdybyśmy w tym wypadku uwzględnili parę \(\displaystyle{ (0,0)}\) dostalibyśmy libzbę dzielników zera równą \(\displaystyle{ 2p-1}\). Bardzo proszę o wyjaśnienie.

[Kaf]

W tym pierścieniu jest \(\displaystyle{ 2p-1}\) dzielników zera, jak sama zauważyłaś. Co w tym dziwnego?

Może dopowiem: niektórzy przyjmują konwencję, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest dzielnikiem zera, ale raczej jest to mniejszość, bo z tą konwencją wysłowienie niektórych twierdzeń jest "mniej zręczne".

[zuzkowo]

Już wszystko jasne korzystam ze zbioru zadań i w odpowiedziach miałam właśnie \(\displaystyle{ 2p-2}\) i stąd brały się moje wątpliwości.