Wyznaczyć rząd, warstwy i podgrupy grupy ilorazowej

[piotrtoip]

Czy grupa \(\displaystyle{ \phi(31)}\) jest cykliczna? Wyznacz rząd elementu \(\displaystyle{ a=5}\) i podgrupę generowaną przez ten element oraz warstwy grupy ilorazowej \(\displaystyle{ \phi(31)/(5).}\)

Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania.

Grupa nie jest cykliczna, ponieważ istnieją dwie różne podgrupy rzędu \(\displaystyle{ 5}\): \(\displaystyle{ (2) \neq (7)}\).

\(\displaystyle{ rz5=3}\)

podgrupa generowana przed \(\displaystyle{ a=5}\)
\(\displaystyle{ H= \left\{ 1,2,4,8,16\right\}}\)

Przy wyznaczeniu wszystkich podgrup mam problem.
Pierwsza to element neutralny czyli \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\)
Druga \(\displaystyle{ \phi(31)}\)
Resztę wyznaczam tak, że biorę kolejno elementy z \(\displaystyle{ \phi(31)}\) i podnoszę do potęg ze zbioru dzielników \(\displaystyle{ 12}\) i sprawdzam gdzie wynik wyjdzie \(\displaystyle{ 1 \pmod{31}}\) np.

\(\displaystyle{ a=5\\
5^{1}=5, \\
5^{2}=25, \\
5 ^{3}=1}\) ,
więc \(\displaystyle{ rz5=3}\) (podgrupa ma trzy elementy), czyli
\(\displaystyle{ (5)=\left\{ 5^{0}, 5^{1}, 5^{2} \right\}=\left\{ 1,5,25\right\}}\)

Czy jest jakiś szybszy sposób? Elementów z \(\displaystyle{ \phi(31)}\) jest aż \(\displaystyle{ 30}\).
Dodatkowo będę wdzięczny na wyznaczenie warstw, bo nie mogę się z tym uporać.