W grupie
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
W grupie
Czy w grupie \(\displaystyle{ \QQ}\) z dodawaniem jako działaniem grupowym istnieje podgrupa izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) ?
No to tak, intuicyjnie, to się wydaje, że całe \(\displaystyle{ \QQ}\) jest izmorficzne z \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) , ale nie wiem jak to uzasadnić.
No to tak, intuicyjnie, to się wydaje, że całe \(\displaystyle{ \QQ}\) jest izmorficzne z \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) , ale nie wiem jak to uzasadnić.
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
W grupie
Aha to o to chodzi. No dobra, to \(\displaystyle{ \QQ}\) jak mi się wydaje to jest generowana przez zbiór:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{i}:i \in \ZZ \right\}}\) czyli zbiór nieskończony, o to chodzi ta?
A \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) to przez \(\displaystyle{ \left\{ (1,0),(0,1)\right\}}\) ta?
No dobra to w takim razie można wrócić do zadania. Jak to dalej zrobić?
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{i}:i \in \ZZ \right\}}\) czyli zbiór nieskończony, o to chodzi ta?
A \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) to przez \(\displaystyle{ \left\{ (1,0),(0,1)\right\}}\) ta?
No dobra to w takim razie można wrócić do zadania. Jak to dalej zrobić?
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
W grupie
Jeżeli \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}}\) miałoby być izomorficzne z podgrupą \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), istniałby monomorfizm \(\displaystyle{ \varphi\colon\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}}\). Zatem \(\displaystyle{ \varphi(1,0) = p}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(0,1) = q}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p,q\in\mathbb{Q}}\). Co dalej z tego wynika?
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: W grupie
Nie. Spróbuj pokazać, że taki homomorfizm nie może być różnowartościowy: znajdź wspólną wartość dla \(\displaystyle{ \varphi(n,0)=\varphi(0,m)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ n,m\in\mathbb{N}}\).
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: W grupie
Wróć do mojego poprzedniego postu z definicją monomorfizmu. Rozpisz \(\displaystyle{ p=\tfrac{a}{b}}\) oraz \(\displaystyle{ q=\tfrac{c}{b}}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Potem spróbuj znaleźć \(\displaystyle{ x,y}\) naturalne, że
\(\displaystyle{ x\cdot\frac{a}{b}=y\cdot\frac{c}{d}}\)
Dla jakich argumentów powyższe wartości są przyjęte?
\(\displaystyle{ x\cdot\frac{a}{b}=y\cdot\frac{c}{d}}\)
Dla jakich argumentów powyższe wartości są przyjęte?
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: W grupie
Idea jest taka, by pokazać, że żaden homomorfimz produktu liczb całkowitych w liczby wymierne nie może być różnowartościowy.
Dla \(\displaystyle{ x=y=0}\) wskazujemy dwa razy ten sam punkt (\(\displaystyle{ (0,0)}\)), a powinny być różne. Pokombinuj więcej.
Dla \(\displaystyle{ x=y=0}\) wskazujemy dwa razy ten sam punkt (\(\displaystyle{ (0,0)}\)), a powinny być różne. Pokombinuj więcej.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: W grupie
Wiesz, że:
\(\displaystyle{ \varphi(1,0) = p=\tfrac{a}{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(0,1) = q=\tfrac{c}{d}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{Z}}\).
\(\displaystyle{ \varphi(1,0) = p=\tfrac{a}{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(0,1) = q=\tfrac{c}{d}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{Z}}\).