Potrzebuję udowodnić to stwierdzenie, a nie bardzo wiem od czego zacząć więc proszę o pomoc
Jeśli \(\displaystyle{ \left( G, \cdot \right)}\) jest grupą, to \(\displaystyle{ \forall a,b\in G : ord\left( a \cdot b\right)=ord\left( b \cdot a\right).}\)
rząd grupy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Re: rząd grupy
Można by się pokusić o uzasadnienie, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in G}\) jest
\(\displaystyle{ \mathrm{ord}(x^{-1}yx)=\mathrm{ord}(y)}\), a potem wziąć
\(\displaystyle{ y=a\cdot b, \ x=a}\).
A to że \(\displaystyle{ \mathrm{ord}(x^{-1}yx)=\mathrm{ord}(y)}\) można udowodnić łatwo korzystając z łączności \(\displaystyle{ \cdot}\)
Z tej własności wynika łatwo, że \(\displaystyle{ (x^{-1}yx)^n=x^{-1}y^n x}\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\), możesz to udowodnić indukcyjnie.
Pozostaje ewentualnie przypadek, gdy \(\displaystyle{ \mathrm{ord}(y)}\) jest nieskończony, ale nie wiem, czy chodziło też o rozważanie takiej możliwości. Wtedy łatwo pokazać przez sprzeczność, że \(\displaystyle{ \mathrm{ord}(x^{-1}yx)}\) tez musi być nieskończony.
-- 20 sty 2018, o 15:05 --
Inaczej: dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in G}\)odwzorowanie
\(\displaystyle{ \varphi: G\ni y \rightarrow xyx^{-1}}\) jest automorfizmem (nazywanym automorfizmem wewnętrznym), więc w szczególności zachowuje rzędy. Teraz weźmy \(\displaystyle{ x=a^{-1}, \ y=ab}\).
\(\displaystyle{ \mathrm{ord}(x^{-1}yx)=\mathrm{ord}(y)}\), a potem wziąć
\(\displaystyle{ y=a\cdot b, \ x=a}\).
A to że \(\displaystyle{ \mathrm{ord}(x^{-1}yx)=\mathrm{ord}(y)}\) można udowodnić łatwo korzystając z łączności \(\displaystyle{ \cdot}\)
Z tej własności wynika łatwo, że \(\displaystyle{ (x^{-1}yx)^n=x^{-1}y^n x}\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\), możesz to udowodnić indukcyjnie.
Pozostaje ewentualnie przypadek, gdy \(\displaystyle{ \mathrm{ord}(y)}\) jest nieskończony, ale nie wiem, czy chodziło też o rozważanie takiej możliwości. Wtedy łatwo pokazać przez sprzeczność, że \(\displaystyle{ \mathrm{ord}(x^{-1}yx)}\) tez musi być nieskończony.
-- 20 sty 2018, o 15:05 --
Inaczej: dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in G}\)odwzorowanie
\(\displaystyle{ \varphi: G\ni y \rightarrow xyx^{-1}}\) jest automorfizmem (nazywanym automorfizmem wewnętrznym), więc w szczególności zachowuje rzędy. Teraz weźmy \(\displaystyle{ x=a^{-1}, \ y=ab}\).