Izomorfizm pierścieni.

[tangerine11]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \ZZ[ \sqrt{5}]}\) i \(\displaystyle{ \ZZ[i{}]}\) nie są izomorficzne.

Znam definicję izomorfizmu, ale nie wiem jak zrobić to zadanie.
Lepiej udowodnić że izomorfizm nie istnieje czy wskazać jakąś znaczącą różnicę która pokaże że to nie są izomorficzne struktury? Jakieś wskazówki?

[leg14]

Załóż, że izomorfizm istnieje. Więc jedynka przechodzi na jedynkę, a zatem liczby całkowite przechodzą na liczby całkowite. W pierwszym pierścieniu równanie \(\displaystyle{ x^2 =5}\) ma rozwiązanie. Czy jest to prawdą w drugim?

[tangerine11]

\(\displaystyle{ x^{2}=5 \Rightarrow x= \sqrt{5} , x= -\sqrt{5}}\)
To że rozwiązanie istnieje w \(\displaystyle{ \ZZ[ \sqrt{5}]}\) jest oczywiste.

\(\displaystyle{ \sqrt{5}=a+bi}\)
Wystarczy powiedzieć że \(\displaystyle{ b}\) musiałoby być \(\displaystyle{ 0}\), i że \(\displaystyle{ a=\sqrt{5}}\) nie należy do całkowitych więc cała liczba nie należy do tego pierścienia?

Czy trzeba to jakoś dodatkowo rozpisać bo może być inny układ niż \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) ?

[leg14]

\(\displaystyle{ \sqrt{5}=a+bi}\)

Ale przecież to równanie nie ma absolutnie żadnego sensu w \(\displaystyle{ \ZZ[i{}]}\)!
Używasz w równaniu elementu \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), o którym w ogóle nie wiadomo, czy istnieje. (a jeśli istnieje, to równanie w oczywisty sposób ma rozwiązanie)

Ciebie interesuje, czy \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) istnieje, więc chcesz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 5 = (a+bi)^2}\)

[tangerine11]

Myślałam że mogę przypuścić że \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) istnieje w \(\displaystyle{ \ZZ[i{}]}\) przy pewnych \(\displaystyle{ a,b}\) i potem stwierdzić że to jednak niemożliwe, ale tu faktycznie poszłam za bardzo na skróty.

Czyli:
\(\displaystyle{ 5=(a+bi)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 5=a^{2}+2abi-b^{2}}\)

No i teraz mogę stwierdzić że \(\displaystyle{ 2ab=0}\) bo nie ma żadnej części urojonej po lewej?
Czyli \(\displaystyle{ a=0}\) lub \(\displaystyle{ b=0}\) itd?

[leg14]

Tak