Myślałam że już zrozumiałam ten lemat, niestety coś mi nie działa chociaż zadanie jest proste :/
Ile istotnie różnych naszyjników złożonych z \(\displaystyle{ 8}\) koralików można utworzyć,
jesli koraliki sa tylko białe i czarne oraz w naszyjniku powinno byc
więcej koralików białych niż czarnych.
Więc mam grupę \(\displaystyle{ G}\) złożoną z\(\displaystyle{ \left\{ 16 \right\}}\) elementów - \(\displaystyle{ \left\{ id, o_{1}, ..., o_{7}, 4S_{b}, 4S_{w}\right\}}\)
No to są trzy przypadki:
1) Jeden czarny: (zliczam elementy \(\displaystyle{ Fixg}\)) i mam \(\displaystyle{ 8 (id)}\) \(\displaystyle{ +}\) \(\displaystyle{ 4 (S_{w}}\))
2) Dwa czarne: \(\displaystyle{ 28 (id) + 4 (o_{4}) + 4 (S_{b}) + 4 (S_{w})}\)
3) Trzy czarne: \(\displaystyle{ 56+3(o_{3})+6(s_{w})}\)
I w takim układzie jest \(\displaystyle{ N= \frac{1}{16} \left| 12+40+65\right| = \frac{117}{16}}\) , więc oczywiście jest źle.
Pomógłby mi ktoś znaleźć błąd?
Problem z lematem Burnside'a
-
tangerine11
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
-
tangerine11
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
Re: Problem z lematem Burnside'a
Lemat:
\(\displaystyle{ N= \frac{1}{\left| G\right| } \sum_{g \in G}^{} |Fixg|}\)
\(\displaystyle{ N}\)-liczba orbit
\(\displaystyle{ |Fixg|}\)-liczba elementów stałych
\(\displaystyle{ G = \left\{ id, o_{1}, ..., o_{7}, 4S_{b}, 4S_{w}\right\}}\), \(\displaystyle{ o}\) to obroty, \(\displaystyle{ S_{b}}\) to symetrie względem boków, \(\displaystyle{ S_{w}}\) względem wierzchołków
1) Jeden czarny: (zliczam elementy \(\displaystyle{ Fixg}\)) i mam \(\displaystyle{ 8 (id) + 4 (S_{w})}\)
Dla identyczności jest 8 punktów stałych, dodatkowo każda symetria przechodząca przez czarny wierzchołek go nie rusza, stąd 4
2) Dwa czarne: \(\displaystyle{ 28 (id)}\) \(\displaystyle{ {8 \choose 2} + 4 (o_{4})}\) (to jest obrót o 180, dobieram te naprzeciwko więc na 4 sposoby mogę to zrobić) + \(\displaystyle{ 4 (S_{b})}\) (symetria względem osi przechodzącej przez dwa boki więc dobieram te koraliki symetrycznie)+ \(\displaystyle{ 4 (S_{w})}\) (oś przechodząca przez dwa wierzchołki, jedna możliwość że na tej osi, a trzy że po przeciwległych stronach)
3) Trzy czarne: \(\displaystyle{ 56+3(o_{3})+6(s_{w})}\)-- 13 sty 2018, o 03:07 --Ok, chyba już widzę swój błąd. W takim razie wynik byłby \(\displaystyle{ \frac{114}{6} = 19}\), jeżeli ktoś zechciałby to potwierdzić lub zanegować to byłabym wdzięczna
\(\displaystyle{ N= \frac{1}{\left| G\right| } \sum_{g \in G}^{} |Fixg|}\)
\(\displaystyle{ N}\)-liczba orbit
\(\displaystyle{ |Fixg|}\)-liczba elementów stałych
\(\displaystyle{ G = \left\{ id, o_{1}, ..., o_{7}, 4S_{b}, 4S_{w}\right\}}\), \(\displaystyle{ o}\) to obroty, \(\displaystyle{ S_{b}}\) to symetrie względem boków, \(\displaystyle{ S_{w}}\) względem wierzchołków
1) Jeden czarny: (zliczam elementy \(\displaystyle{ Fixg}\)) i mam \(\displaystyle{ 8 (id) + 4 (S_{w})}\)
Dla identyczności jest 8 punktów stałych, dodatkowo każda symetria przechodząca przez czarny wierzchołek go nie rusza, stąd 4
2) Dwa czarne: \(\displaystyle{ 28 (id)}\) \(\displaystyle{ {8 \choose 2} + 4 (o_{4})}\) (to jest obrót o 180, dobieram te naprzeciwko więc na 4 sposoby mogę to zrobić) + \(\displaystyle{ 4 (S_{b})}\) (symetria względem osi przechodzącej przez dwa boki więc dobieram te koraliki symetrycznie)+ \(\displaystyle{ 4 (S_{w})}\) (oś przechodząca przez dwa wierzchołki, jedna możliwość że na tej osi, a trzy że po przeciwległych stronach)
3) Trzy czarne: \(\displaystyle{ 56+3(o_{3})+6(s_{w})}\)-- 13 sty 2018, o 03:07 --Ok, chyba już widzę swój błąd. W takim razie wynik byłby \(\displaystyle{ \frac{114}{6} = 19}\), jeżeli ktoś zechciałby to potwierdzić lub zanegować to byłabym wdzięczna
