Dwa podobne zadania - ilosc elementow danego rzedu

[relic]

Niech \(\displaystyle{ \left| G\right| < \infty}\)

(i) Pokazać, że liczba elementów rzędu \(\displaystyle{ p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ p-1}\).

(ii) Pokazać, że liczba elementów rzędu \(\displaystyle{ n}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ \phi \left( n\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi \left( *N\right)}\) jest funkcją Eulera.

Może ktoś powiedzieć z czego mam skorzystać, żeby udowodnić te dwa twierdzenia? kompletnie nic mi nie przychodzi do głowy

[Wasilewski]

Powiedzmy, że element \(\displaystyle{ g}\) ma rząd \(\displaystyle{ p}\). Z tego wynika, że w podgrupie generowanej przez \(\displaystyle{ g}\), składającej się z elementów \(\displaystyle{ e, g, g^2,\dots, g^{p-1}}\) wszystkie elementy poza jedynką mają rząd \(\displaystyle{ p}\), na mocy twierdzenia Lagrange'a (w końcu liczby pierwsze mają mało dzielników); nazwijmy tę podgrupę \(\displaystyle{ H}\). To znaczy, że jak się znajdzie jeden element rzędu \(\displaystyle{ p}\), to dostaje się ich od razu \(\displaystyle{ p-1}\). Warto tu też zauważyć, że dowolny nietrywialny element podgrupy generowanej przez \(\displaystyle{ g}\) generuje całą tę podgrupę.

Z tego wynika, że jeśli mamy inną podgrupę \(\displaystyle{ H'}\) cykliczną rzędu \(\displaystyle{ p}\) to albo \(\displaystyle{ H'\cap H = \{e\}}\) lub \(\displaystyle{ H'=H}\). Wobec tego elementy rzędu \(\displaystyle{ p}\) naturalnie rozpadają się na rozłączne podzbiory mocy \(\displaystyle{ p-1}\), czyli liczba elementów rzędu \(\displaystyle{ p}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p-1}\).

Drugą część można zrobić bardzo podobnie.