Twierdzenie de Rhama - błagam - wyszło ze kohomologie sa 0

[leg14]

Dążymy do udowodnienia tw De Rhama. Najpierw chcemy pokazać, że snopy \(\displaystyle{ O(\RR)}\) (w domyśle chodzi o formy różniczkowe na rozmaitości gładkiej \(\displaystyle{ X}\) )modułów są acykliczne. No dobra to bierzemy taki snop - \(\displaystyle{ F}\) i jego rezolwentę \(\displaystyle{ O(\RR)}\)- modułów - \(\displaystyle{ I_{*}}\) (mozna sobie taką skonstruować).
Z definicji \(\displaystyle{ H^{i}(X,F) = \frac{ker(\Gamma_{X}I^{i} \rightarrow \Gamma_{X}I^{i+1})}{im(\Gamma_{X}I^{i-1} \rightarrow \Gamma_{X}I^{i})}}\). Weźmy jakieś \(\displaystyle{ \alpha}\) należące do tego jądra. No skoro to jest dokładne w kategorii snopów, to znajdziemy takie pokrycie \(\displaystyle{ X}\) - \(\displaystyle{ U =\left\{ U_{i} \right\}_{i \in I}}\) (lokalnei skończone) i elementy \(\displaystyle{ \alpha_{i} \in \Gamma_{U_i}(I^{i-1})}\) takie, że \(\displaystyle{ d(\alpha_i) = \alpha_{|U_i}}\). Wpiszmy sobie gładki rozkład jedynki w pokrycie \(\displaystyle{ U}\) - \(\displaystyle{ \varphi_{i}}\).No to traktujmy te snopy jako snopy sekcji etale space. I zdefiniujmy \(\displaystyle{ \varphi_{i} \cdot \alpha_{i} \in \Gamma_{X}I^{i-1}}\) kładąc na \(\displaystyle{ U_i}\) \(\displaystyle{ \varphi_{i} \cdot \alpha_{i}}\), a na reszcie zero (wiadomo,że można zrobić to bezpośrednio z własności snopów bez odwoływanai się do takie jinterpretacji snopów, ale w ten sposób jest chyba bardziej czytalnie). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ d( \sum_{i \in I}^{} \varphi_{i} \cdot \alpha_{i} )= \alpha}\). Zatem rzeczywiście \(\displaystyle{ F}\) jest acykliczny. No i teraz pytanie, bo kompletnie tego nie widzę - czemu nie możemy zrobić tego samego dla \(\displaystyle{ \Omega^{i} \rightarrow \Omega^{i+1}}\) (ciągu snopów form różniczkowych)? Lemat Poincare nam daje dokładność (to jest kluczowe oczywiście w tw de Rhama) i są to snopy \(\displaystyle{ O(\RR)}\) modułów. Co mi umyka?

[Wasilewski]

Musisz chyba trochę dokładniej opisać, co się tu dzieje. Czym jest \(\displaystyle{ O(\mathbb{R})}\) -- są to funkcje gładkie na \(\displaystyle{ \RR}\)? A może rzeczywiste funkcje gładkie na \(\displaystyle{ X}\)? Potem piszesz, że coś jest dokładne w kategorii snopów, ale nie wiadomo, o co chodzi. Byłoby łatwiej pomóc, gdybyś napisał jaki jest cel (jaka wersja twierdzenia de Rhama?), dokładniej napisał, co robisz, i powyjaśniał oznaczenia, które stosujesz.

I trzeba przyznać, że bardziej by to pasowało do działu Algebra abstrakcyjna.

[leg14]

Czym jest O(mathbb{R})

Funkcje gładkie na rozmaitości (rzeczywiste).

I trzeba przyznać, że bardziej by to pasowało do działu Algebra abstrakcyjna.

nie zgadzam się, ale co za różnica?

Potem piszesz, że coś jest dokładne w kategorii snopów, ale nie wiadomo, o co chodzi.

Rezolwenta \(\displaystyle{ I_{*}}\) jest dokładna.

Chcę udowodnić twierdzenie de Rhama - izomrofizm group kohomologii de Rhama z singularnymi o wspolczynnikach w \(\displaystyle{ \RR}\). Najprosztym sposobem jest stwierdzenie, że formy różniczkowe (traktowane jako snopy) są acykliczną rezolwentą snopa stałego. Wówczas twierdzenie będzie automatycznie udowodnione.
No więc potrzebujemy dwóch rzeczy:
1) dokładności ciągu snopów form różniczkowych -to nam załatwia Lemat Poincare
2) tego, że te snopy są acykliczne

W pierwszym poście umieściłem dowód tego, że takie snopy są rzeczywiście acykliczne. W skrócie bierzemy rezolwentę wiotką takiego snopa (też złożoną z \(\displaystyle{ O(\RR)}\) modułów ). Ona jest dokładna w kategorii snopów (z definicji) i korzystamy z rozkładu jedynki, by udowodnić, że jest dokładna na przekrojach. (czyli od własności lokalnej przechodzimy do własności globalnej)
Zostało to opisane w pierwszym poście. Teraz moje pytanie:
Dlaczego tego samego rozumowanie nie mozemy zastosowac do rezolwenty złożonej ze snopów form różniczkowych? (wtedy byśmy wykazali, że kohomologie de Rhama znikają)

Gdzieś musi mi uciekać założenie o tym, że snopy z rezolwenty \(\displaystyle{ I_{*}}\) są wiotkie (flabby). Tylko gdzie?

[Wasilewski]

Chyba już rozumiem. Faktycznie jest tak, że snopy \(\displaystyle{ \Omega^{i}}\) są acykliczne, ale to nie znaczy, że kohomologie de Rhama znikają. Mniej więcej chodzi o to, że jak mamy ten ciąg dokładny
\(\displaystyle{ 0 \to \mathbb{R} \to \Omega^{1} \to \dots,}\)
to dostajemy dużo krótkich ciągów dokładnych postaci
\(\displaystyle{ 0 \to d\Omega^{n} \to \Omega^{n+1} \to d\Omega^{n+1} \to 0}\)
i one indukują długie ciągi dokładne w kohomologiach snopowych. Te ciągi na zerowym poziomie mają formy różniczkowe i tam zobaczymy kohomologie de Rhama. Z acykliczności snopów \(\displaystyle{ \Omega^{i}}\) dostaniemy dużo zer w tych ciągach, a więc dużo izomorfizmów. Z tych izomorfizmów da się wycisnąć, że wyższe kohomologie snopa stałego, czyli kohomologie Cecha, są izomorficzne z pierwszymi kohomologiami czegoś. Te pierwsze kohomologie można utożsamić z odpowiednimi kohomologiami na poziomie zerowym, które okażą się być kohomologiami de Rhama.

[leg14]

Chyba już rozumiem

Jednak nie rozumiesz ;/

Faktycznie jest tak, że snopy \(\displaystyle{ \Omega^{i}}\) są acykliczne, ale to nie znaczy, że kohomologie de Rhama znikają.

Oczywiscie, ze nie znikaja, ale - pokazalem w peirwszym poscie, w bardzo konkretny sposob, jak pokazac, ze snopy \(\displaystyle{ \Omega^k}\) sa acykliczne, stosujac pewne rozumowanie do rezowlenty wiotkiej \(\displaystyle{ 0 \rightarrow \Omega^{k} \rightarrow I_{*}}\). Moje pytanie jest nastepujące:
Co sprawia, ze tego samego rozumowania nie moge zastosowac do rezolwenty \(\displaystyle{ 0 \rightarrow \RR \rightarrow \Omega^{*}}\) ( w efekcie pokazujac, ze kohomologie de Rhama znikaja)? Jak juz mowilem, gdzies musi mi uciekac zalozenie, ze snopy \(\displaystyle{ I}\) sa wiotkie.

Ten dowod acyklicznosci jest np. tu

Kod: Zaznacz cały

https://www3.nd.edu/~lnicolae/sheaves_coh.pdf

Propozycja 3.2 strona 6

[Wasilewski]

Dobra, chodzi o to, że jak rozważysz jako rezolwentę snopy form różniczkowych, to różniczki nie są odwzorowaniami \(\displaystyle{ O(\mathbb{R})}\)-modułów (bo musimy stosować wzór Leibniza) i nie da się pokazać, że \(\displaystyle{ d(\sum \varphi_i \alpha_i) = \alpha}\). Czyli jest to tylko rezolwenta w kategorii snopów, ale nie w kategorii snopów \(\displaystyle{ O(\mathbb{R})}\)-modułów.

[leg14]

Rzeczywiscie:D Dzieki serdeczne

[Wasilewski]

Nie ma za co. Już sam byłem mocno skołowany, a algebra homologiczna zdecydowanie nie jest moją mocną stroną. Poza tym takiego dowodu nie znałem, więc też się czegoś nauczyłem.