Matematyka.pl

Znaleźć rzędy elementów w grupie \(\displaystyle{ D_{2n}}\).

No dobra to elementy wyglądają tak: \(\displaystyle{ \left\{ 1,p,p^2,p^3,...,p^{n-1},\epsilon,p\epsilon,p^2\epsilon,...,p^{n-1}\epsilon\right\}}\).

No to po kolei:
\(\displaystyle{ o(1)=1}\)
\(\displaystyle{ o(p)=n}\)
\(\displaystyle{ o(p^2)=n/2}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) parzyste ,\(\displaystyle{ o(p^2)=n}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste
\(\displaystyle{ o(p^3)=n/3}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) ,\(\displaystyle{ o(p^3)=n}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) niepodzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ o(p^4)=n/(n,4)}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ o(p^{n-1})=n/(n,n-1)}\)
Dobrze?
A jak z resztą?
\(\displaystyle{ o(\epsilon)=2}\)?
Jak pozostałe?

Ładne zadanko!
Mi wyszło tak samo. Jak widać rzędy poszczególnych elementów zależą od dzielników \(\displaystyle{ n}\).

Natomiast co do rzędu \(\displaystyle{ \epsilon}\) to nie wiem, czy Twoja odpowiedź jest poprawna i jest to zastanawiające. Tak samo zastanawiające jest jak obliczyć rzędy dla iloczynów \(\displaystyle{ \epsilon}\) i kolejnych elementów aż do \(\displaystyle{ \epsilon p^{n-1}}\). Chętnie posłucham, co inni mają do powiedzenia na ten temat.

max123321 pisze:\(\displaystyle{ o(1)=1}\)
\(\displaystyle{ o(p)=n}\)
\(\displaystyle{ o(p^2)=n/2}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) parzyste ,\(\displaystyle{ o(p^2)=n}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste
\(\displaystyle{ o(p^3)=n/3}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) ,\(\displaystyle{ o(p^3)=n}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) niepodzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ o(p^4)=n/(n,4)}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ o(p^{n-1})=n/(n,n-1)}\)
Dobrze?

Tak.

max123321 pisze:A jak z resztą?
\(\displaystyle{ o(\epsilon)=2}\)?
Jak pozostałe?

Tak. Żeby wyznaczyć rzędy pozostałych elementów, zastanów się, jaką izometrią jest \(\displaystyle{ p^k \epsilon.}\)

Nie wiem, to należy jakoś przekształcić? Wiem tyle, że: \(\displaystyle{ p^k \epsilon=\epsilon \cdot \epsilon p^k \epsilon=\epsilon p^{-k}}\), ale co to daje to nie wiem.

Rzędu dwa

Elementy \(\displaystyle{ D_{2n}}\) dzielą się na obroty i symetrie względem prostych. Którego z tych dwóch rodzajów izometrii jest \(\displaystyle{ p^k \epsilon}\) ?

Hmm, no cóż nie rozumiem. \(\displaystyle{ p^k \epsilon}\) jak rozumiem to jest złożenie k-krotnego obrotu z pojedyńczą symetrią, kolejność chyba nie ma znaczenia. Jednak chyba nie umiem odpowiedzieć na Twoje pytanie.

I to daje jakąś inną symetrię względem innej prostej symetralnej...

I co na bazie tylko tego wnioskujemy, że rząd jest dwa?

max123321 pisze:Hmm, no cóż nie rozumiem. \(\displaystyle{ p^k \epsilon}\) jak rozumiem to jest złożenie k-krotnego obrotu z pojedyńczą symetrią, kolejność chyba nie ma znaczenia.

Ma znaczenie.

max123321 pisze:I co na bazie tylko tego wnioskujemy, że rząd jest dwa?

No tak. Chyba wiesz, że dwukrotne wykonanie symetrii względem tej samej prostej daje identyczność?

A \(\displaystyle{ p^k \epsilon}\) musi być symetrią, bo jest przekształceniem płaszczyzny zmieniającym orientację. Jeśli potraktujemy \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ \epsilon}\) jako przekształcenia liniowe (uznajemy, że obroty są wokół zera a proste, względem których są symetrie, przechodzą przez zero), to

\(\displaystyle{ \det( p^k \epsilon ) = (\det p)^k \cdot \det \epsilon.}\)

Obrót nie zmienia orientacji, czyli \(\displaystyle{ \det p > 0}\) (a dokładniej: \(\displaystyle{ \det p = 1}\)). Symetria zmienia orientację, czyli \(\displaystyle{ \det \epsilon < 0}\) (dokładniej: \(\displaystyle{ -1}\)). Zatem

\(\displaystyle{ \det( p^k \epsilon ) < 0,}\)

czyli to nie może być obrót, tylko musi być symetria.


Jeśli tego nie czujesz, można to zrobić korzystając z tego, co napisałeś wcześniej. Skoro \(\displaystyle{ p^k \epsilon = \epsilon p^{-k}}\) oraz \(\displaystyle{ \epsilon^2 = \mathrm{id},}\) to

\(\displaystyle{ (p^k \epsilon)^2 = p^k \epsilon \circ p^k \epsilon = \epsilon p^{-k} p^k \epsilon = \epsilon^2 = \mathrm{id},}\)

czyli rząd \(\displaystyle{ p^k \epsilon}\) wynosi \(\displaystyle{ 2.}\)