Udowodnić równość rzędów.

[tangerine11]

Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\), zachodzi równość: \(\displaystyle{ rza=rz(a^{-1})}\).

\(\displaystyle{ rza=m}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ a^{m}=e}\)
Dalej \(\displaystyle{ (a^{-1})^{m} = (a^{m})^{-1}=e^{-1}=e}\), czyli zostaje udowodnić, że \(\displaystyle{ m}\) jest minimalne i będzie można je uznać za rząd elementu odwrotnego, tak?

[a4karo]

tak

[tangerine11]

Jak to zrobić?

[a4karo]

Pomyśleć... co by się stało, gdyby ten rząd był mniejszy?

[tangerine11]

hmm...

hipoteza: istnieje \(\displaystyle{ n<m}\) takie że \(\displaystyle{ (a^{-1})^{n}=e}\)

Dalej: \(\displaystyle{ \left( a^{n}\right) ^{-1}=e^{-1}=e}\), stąd \(\displaystyle{ n}\) musiałoby być także rzędem elementu \(\displaystyle{ a}\)?

[a4karo]

No właśnie jakoś tak. Napisz to teraz porządnie

[tangerine11]

No to jak wyżej:

\(\displaystyle{ rza=m}\)
\(\displaystyle{ rz(a^{-1})=n}\)

\(\displaystyle{ (a^{-1})^{n} =(a^{n})^{-1} = e^{-1} = e \

\left( (a^{n})^{-1}\right) ^{-1} = a^{n} = e}\)

Stąd \(\displaystyle{ n=m}\).

W miarę porządnie?

A co kiedy rząd elementu jest nieskończony?

[a4karo]

Nie, to nie jest dowód. Powiedz sobie głosno słowami to, co chcesz przekazać, a potem to zapisz przy uzyciu słów i symboli.

[tangerine11]

Niestety mam problem z poskładaniem tego dowodu.
Wg mnie nic tu wiele nie trzeba, to co napisałam w temacie i później ewentualnie że przecież \(\displaystyle{ a}\) jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a^{-1}}\) więc przeprowadzając drugi raz to samo rozumowanie będzie że \(\displaystyle{ m \le n}\) i z połączenia obu nierówności jest równość.

Czy ktoś mógłby zapisać całość 'elegancko'?

[a4karo]

Spróbuj tak.
Niech \(\displaystyle{ {\rm rz}(a)=m}\) i \(\displaystyle{ {\rm rz}(a^{-1})=n}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ (a^{-1})^n=(a^n)^{-1}=e}\), to \(\displaystyle{ m|n}\).
Z drugiej strony...

Teraz dokończ