Czy dowód jest poprawny?

[tangerine11]

Zadanie:
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ a^{n}=e}\).

\(\displaystyle{ Z:\ rzG=n \\
T:\ \bigwedge_{ a\in G} a^{n}=e}\)

Dla dowodu nie wprost przyjmuję, że istnieje takie \(\displaystyle{ a}\), że: \(\displaystyle{ a^{n} \neq e}\)
I mam tak:
\(\displaystyle{ rz a = m, m<n}\)

\(\displaystyle{ a^{n} = a^{m} \cdot a^{k} , m+k=n \Rightarrow m>0 \\
a \cdot a^{k}=a^{n}}\)
\(\displaystyle{ k=n}\) - sprzeczność, bo \(\displaystyle{ m>0}\).
Czyli \(\displaystyle{ a^{n}=e}\)


Szczerze? Nie do końca wiem czy to wszystko trzyma się kupy, czy to faktycznie jest dowód czy tylko jakieś pojedyncze skrawki informacji na siłę zbite w coś co usilnie ma dowód przypominać chociaż nim nie jest

[a4karo]

Zadanie:
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ a^{n}=e}\).

\(\displaystyle{ Z:\ rzG=n \\
T:\ \bigwedge_{ a\in G} a^{n}=e}\)

Dla dowodu nie wprost przyjmuję, że istnieje takie \(\displaystyle{ a}\), że: \(\displaystyle{ a^{n} \neq e}\)
I mam tak:
\(\displaystyle{ rz a = m, m<n}\)

\(\displaystyle{ a^{n} = a^{m} \cdot a^{k} , m+k=n \Rightarrow m>0 \\
a \cdot a^{k}=a^{n}}\)
\(\displaystyle{ k=n}\) - sprzeczność, bo \(\displaystyle{ m>0}\).
Czyli \(\displaystyle{ a^{n}=e}\)

Szczerze? Nie do końca wiem czy to wszystko trzyma się kupy, czy to faktycznie jest dowód czy tylko jakieś pojedyncze skrawki informacji na siłę zbite w coś co usilnie ma dowód przypominać chociaż nim nie jest

Szczerze? Napisales ciąg znaczków, z którego nic nie wynika.

Dowód to rozumowanie, które prowadzimy i zapisujemy w języku polskim, pomagając sobie tam gdzie trzeba symbolami matematycznym.

Nie pisz znaczków, tylko zastanów się co chcesz powiedzieć.

[arek1357]

Zadanie:
Udowodnić, że jeśli\(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego\(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość\(\displaystyle{ a^{n}=e}\).

A ja się pytam skąd to zadanie wziąłeś jak sam wymyśliłeś to ok a jak ktoś ci podsunął to uwierz że cię posadził na minie...

[a4karo]

Zadanie:
Udowodnić, że jeśli\(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego\(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość\(\displaystyle{ a^{n}=e}\).

A ja się pytam skąd to zadanie wziąłeś jak sam wymyśliłeś to ok a jak ktoś ci podsunął to uwierz że cię posadził na minie...

Z powodu że???

[arek1357]

Z powodu że???

A czy to jest zawsze prawda?

[a4karo]

Tak

[arek1357]

ale \(\displaystyle{ n}\) nie jest minimalne masz grupę:

\(\displaystyle{ \ZZ_{2} \times \ZZ_{2}}\)

każdy element jest rzędu dwa

[Jan Kraszewski]

ale \(\displaystyle{ n}\) nie jest minimalne

No i co z tego? Twierdzenie mówi o czymś innym.

JK

[tangerine11]

Zadanie pochodzi ze zbioru "Algebra abstrakcyjna w zadaniach", Jerzy Rutkowski.

W takim razie mogę prosić o jakieś wskazówki lub początek dowodu?

[a4karo]

Zacznij od tego :

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie rzędem elementu \(\displaystyle{ a}\). To znaczy, że...

[Jan Kraszewski]

Zacznij od tego :

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie rzędem elementu \(\displaystyle{ a}\). To znaczy, że...

Ja bym zaczął od

Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ a\in G}\). Niech...

JK

[Premislav]

arek1357, przecież nikt nie twierdzi, że jakiś element w takiej grupie jest rzędu \(\displaystyle{ n}\). To, że \(\displaystyle{ a^n =e}\) niekoniecznie znaczy, że rząd elementu \(\displaystyle{ a}\) jest równy \(\displaystyle{ n}\). Rozróżniasz?
Ja bym zaproponował coś takiego: ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a \in G}\). Popatrzmy na
\(\displaystyle{ a, a^2, \ldots a^{n+1}}\)
Rząd grupy wynosi \(\displaystyle{ n}\), więc dla pewnych \(\displaystyle{ 1\le k<m\le n+1}\) mamy
\(\displaystyle{ a^k=a^m}\), stąd \(\displaystyle{ a^{m-k}=e}\), przy czym \(\displaystyle{ 1\le m-k \le n}\). Weźmy takie \(\displaystyle{ m, k}\) by ta różnica była jak najmniejsza.
Oznaczmy dla uproszczenia \(\displaystyle{ l=m-k}\) i podzielmy z resztą \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ n=q\cdot l+r}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q \in \NN, \ r \in\left\{ 0,\ldots l-1\right\}}\).
Mamy \(\displaystyle{ a^n=a^{q\cdot l}a^r=a^r}\).
i co teraz?

Można też od razu skorzystać z twierdzenia Lagrange'a (w szczególności dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in G}\) rząd podgrupy generowanej przez element \(\displaystyle{ a}\) musi dzielić się przez \(\displaystyle{ n}\)), ale pewnie nie o to chodziło.

[arek1357]

Tak tak rozróżniam jasne chodzi w tym o to że miałem na myśli co inne i stąd narobiłem ciut zamieszania. Ja tak myślę czasem jedno mówię co inne za co przepraszam za roztargnienie...