Wskazówka/Objaśnienie

[aolo23]

Witam mam ostatnio styczność z tą "ukochaną" algebrą abstrakcyjną i nie potrafię jej strawić wystarczajaco dobrze.
Prosiłbym o jakieś objaśnienie jak zabrać się do zadania po niżęj, bo męczę je i męczę i do niczego nie dochodzę - pewnie dlatego że nie zbyt rozumiem.
Z góry dzięki za wyrozumiałość....

Załóżmy, że element \(\displaystyle{ a}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) ma rząd równy \(\displaystyle{ n \in \NN.}\)
1. Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ l \in \left\{ 0, . . . ,n-1 \right\} ,}\) że \(\displaystyle{ a^{k}= a ^{l}}\).
2. Pokaż, że wszystkie elementy \(\displaystyle{ \left\{ a ^{0} , a ^{1} , . . . , a ^{n-1} \right\} }\) są parami różne.
3. Pokaż, że \(\displaystyle{ a ^{n-1}= a^{-1}}\)

[leg14]

A rozumiesz definicję rzędu elementu grupy? (np. 3 to tylko i wyłącznie zastosowanie definicji)

[aolo23]

\(\displaystyle{ ord(a)=n}\) czyli \(\displaystyle{ a^n}\) daje \(\displaystyle{ e}\)
i jak to dalej ugryźć
rozumiem że \(\displaystyle{ k\in G}\)
czyli \(\displaystyle{ a^{k} = a^{l}=e}\)
\(\displaystyle{ k<n}\)

co więcej?

[leg14]

czyli a do n potęgi daje e

No właśnie nie do potęgi.

Zacznij od 3 punktu. Ile to jest \(\displaystyle{ a \cdot a^{n-1}}\) z definicji rzędu?