Znaleźć tabelki

[max123321]

Znaleźć wszystkie możliwe tabelki działań grupowych na zbiorze 4-elementowym.

Jak się do tego zabrać?

[a4karo]

Ołówek i kartka. Rysujesz tabelkę z elementami \(\displaystyle{ e,a,b,c}\) (\(\displaystyle{ e}\) robi za neutralny) i kombinujesz.
Twierdzenie o rzędzie elementu może byc baaaaardzo przydatne

[max123321]

To tak myślę i kombinuję i wymyśliłem 4 tabelki takie, chociaż całej łączności nie sprawdziłem, ale wydaje się, że jest ok.

1.
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c|}
x & e & a & b & c \\ \hline
e & e & a & b & c \\ \hline
a & a & e & c & b \\ \hline
b & b & c & e & a \\ \hline
c & c & b & a & e \\ \hline
\end{array}}\)

2.
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c|}
x & e & a & b & c \\ \hline
e & e & a & b & c \\ \hline
a & a & b & c & e \\ \hline
b & b & c & e & a \\ \hline
c & c & e & a & b \\ \hline
\end{array}}\)

3.
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c|}
x & e & a & b & c \\ \hline
e & e & a & b & c \\ \hline
a & a & c & e & b \\ \hline
b & b & e & c & a \\ \hline
c & c & b & a & e \\ \hline
\end{array}}\)

4.
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c|}
x & e & a & b & c \\ \hline
e & e & a & b & c \\ \hline
a & a & e & c & b \\ \hline
b & b & c & a & e \\ \hline
c & c & b & e & a \\ \hline
\end{array}}\)

Tak jest dobrze? Jeśli tak, to czy to wszystkie możliwości? Nie wiem, też jak się te "obramowania" robi w tabelce. A i też nie wiem do czego jest to twierdzenie o rzędzie.

[a4karo]

Ok. Przyjrzyj się teraz tabelkom b, c, d i zauważ że są one takie same z dokładnością do permutacji a, b, c

-- 8 paź 2017, o 08:21 --

Gdybyś użył twierdzenia o rzędzie, to byś to od razu zobaczył

[max123321]

Jak to takie same z dokładnością do permutacji a,b,c? Przecież to są różne elementy. Jak się tabelka różni choćby jednym elementem to już jest inna chyba... Poza tym co nam daje to twierdzenie bo jakoś nie widzę związku.

[a4karo]

Chcesz powiedzieć że jak zamiast \(\displaystyle{ a,b,c}\) napiszesz \(\displaystyle{ e, f, g}\) to dostaniesz inna grupę ?

Chodzi o kształt działań, a nie o symbole.

Poczytaj o izomorfizmie grup

[max123321]

Czekaj to ile jest w końcu takich tabelek? Jedna?

[a4karo]

Dwie.

Masz dwie możliwości. Na mocy tego twierdzenia co Ty wiesz, a ja rozumiem, albo w grupie jest element rzędu cztery, albo nie.
Jak nie ma, to każdy element ma rząd dwa i łatwo sprawdzisz, że dostaniesz tabelkę a.

A jak jest, to elementami grupy są \(\displaystyle{ e, a, a^2,a^3}\)