Działanie grupy przez sprzężenie
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
Wykazać, że działanie grupy \(\displaystyle{ G}\) na sobie przez sprzężenie jest efektywne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ Z \left( G \right) = \left\langle e \right\rangle}\).
Z góry dziękuje za pomoc.
Z góry dziękuje za pomoc.
Ostatnio zmieniony 4 lut 2017, o 16:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym; jest to równoważne temu, że wyłącznie element neutralny grupy stabilizuje zbiór.
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
No dobra, to w rozważ sobie homomorfizm grupy \(\displaystyle{ G}\) w grupę jej automorfizmów wewnętrznych \(\displaystyle{ Inn(G)}\).
\(\displaystyle{ \phi\colon G\to Inn(G)}\). Teraz zauważ, że jądrem tego homomorfizmu jest \(\displaystyle{ Z(G)}\)
\(\displaystyle{ \phi\colon G\to Inn(G)}\). Teraz zauważ, że jądrem tego homomorfizmu jest \(\displaystyle{ Z(G)}\)
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
No dobra w jedną stronę przez kontrapozycję. Jeśli centrum jest nietrywialne, to istnieje element różny od neutralnego, który stabilizuje cały zbiór (ten element z centrum różny od neutralnego), bo przechodzi na przekształcenie identycznościowe przez \(\displaystyle{ \phi}\) z mojego poprzedniego posta.
W drugą stronę spróbuj Ty
W drugą stronę spróbuj Ty
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
Czyli powinno wyjść, że:
\(\displaystyle{ \phi^{-1} (e_{Inn(G)}) = g \in G : \{gg' = g'g \quad \forall_{g \in G}\}}\) ?
\(\displaystyle{ \phi^{-1} (e_{Inn(G)}) = g \in G : \{gg' = g'g \quad \forall_{g \in G}\}}\) ?
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
Ok, jak masz sobie automorfizm wewnętrzny wyznaczony przez element \(\displaystyle{ g}\), to on działa tak:
\(\displaystyle{ h \rightarrow ghg^{-1}}\). Jeśli \(\displaystyle{ g\in Z(G)}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ g}\) jest przemienny ze wszystkimi innymi elementami \(\displaystyle{ G}\), więc tak określona funkcja będzie indentycznością, więc tak
\(\displaystyle{ h \rightarrow ghg^{-1}}\). Jeśli \(\displaystyle{ g\in Z(G)}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ g}\) jest przemienny ze wszystkimi innymi elementami \(\displaystyle{ G}\), więc tak określona funkcja będzie indentycznością, więc tak
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
Coś jest nie tak z tym zadaniem. W grupie \(\displaystyle{ S_3}\) jest trywialne centrum, ale działanie przez sprzężenie zachowuje znak permutacji, więc są przynajmniej trzy orbity: identyczność, \(\displaystyle{ (1 \, 2)}\) i \(\displaystyle{ (1 \, 2 \, 3)}\) muszą być w różnych orbitach.
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
No chwila, co nie tak? Twierdzimy, że trywialność jądra jest równoważna z tym, że w działaniu grupy na siebie przez automorfizmy wewnętrzne jedyny element, który stabilizuje całość to element neutralny. W którym miejscu jest niby źle?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
Zuza0612 pisze:Wykazać, że działanie grupy \(\displaystyle{ G}\) na sobie przez sprzężenie jest efektywne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ Z \left( G \right) = \left\langle e \right\rangle}\).
To jest nie tak, że istnieje grupa o trywialnym centrum z więcej niż jedną orbitą działania przez sprzężenie.Zuza0612 pisze:Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym
-
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
Działanie grupy przez sprzężenie
To jest nie tak. Pomieszanie definicji.Zuza0612 pisze:Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym; jest to równoważne temu, że wyłącznie element neutralny grupy stabilizuje zbiór.
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Re: Działanie grupy przez sprzężenie
Winowajcą był prawdopodobnie artykuł na Wikipedii. Sam ostatnio miałem przez to problem i zastanawiałem się, jak wykazać równoważność, której nie ma. Poprawiłem to dla potomności.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Działanie grupy przez sprzężenie
Lekcja z tego taka: wierne działanie grupy nie musi być tranzytywne (przechodnie) i na odwrót- przechodniość nie implikuje efektywności