Działanie grupy przez sprzężenie

[Zuza0612]

Wykazać, że działanie grupy \(\displaystyle{ G}\) na sobie przez sprzężenie jest efektywne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ Z \left( G \right) = \left\langle e \right\rangle}\).

Z góry dziękuje za pomoc.

[jutrvy]

Co to znaczy, że działanie jest efektywne? Jak mi powiesz, to pomogę

[Zuza0612]

Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym; jest to równoważne temu, że wyłącznie element neutralny grupy stabilizuje zbiór.

[jutrvy]

No dobra, to w rozważ sobie homomorfizm grupy \(\displaystyle{ G}\) w grupę jej automorfizmów wewnętrznych \(\displaystyle{ Inn(G)}\).

\(\displaystyle{ \phi\colon G\to Inn(G)}\). Teraz zauważ, że jądrem tego homomorfizmu jest \(\displaystyle{ Z(G)}\)

[Zuza0612]

Średnio kumam...

[jutrvy]

No dobra w jedną stronę przez kontrapozycję. Jeśli centrum jest nietrywialne, to istnieje element różny od neutralnego, który stabilizuje cały zbiór (ten element z centrum różny od neutralnego), bo przechodzi na przekształcenie identycznościowe przez \(\displaystyle{ \phi}\) z mojego poprzedniego posta.

W drugą stronę spróbuj Ty

[Zuza0612]

Czyli powinno wyjść, że:
\(\displaystyle{ \phi^{-1} (e_{Inn(G)}) = g \in G : \{gg' = g'g \quad \forall_{g \in G}\}}\) ?

[jutrvy]

Ok, jak masz sobie automorfizm wewnętrzny wyznaczony przez element \(\displaystyle{ g}\), to on działa tak:

\(\displaystyle{ h \rightarrow ghg^{-1}}\). Jeśli \(\displaystyle{ g\in Z(G)}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ g}\) jest przemienny ze wszystkimi innymi elementami \(\displaystyle{ G}\), więc tak określona funkcja będzie indentycznością, więc tak

[Dasio11]

Coś jest nie tak z tym zadaniem. W grupie \(\displaystyle{ S_3}\) jest trywialne centrum, ale działanie przez sprzężenie zachowuje znak permutacji, więc są przynajmniej trzy orbity: identyczność, \(\displaystyle{ (1 \, 2)}\) i \(\displaystyle{ (1 \, 2 \, 3)}\) muszą być w różnych orbitach.

[jutrvy]

No chwila, co nie tak? Twierdzimy, że trywialność jądra jest równoważna z tym, że w działaniu grupy na siebie przez automorfizmy wewnętrzne jedyny element, który stabilizuje całość to element neutralny. W którym miejscu jest niby źle?

[Dasio11]

Wykazać, że działanie grupy \(\displaystyle{ G}\) na sobie przez sprzężenie jest efektywne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ Z \left( G \right) = \left\langle e \right\rangle}\).

Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym

To jest nie tak, że istnieje grupa o trywialnym centrum z więcej niż jedną orbitą działania przez sprzężenie.

[krl]

Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym; jest to równoważne temu, że wyłącznie element neutralny grupy stabilizuje zbiór.

To jest nie tak. Pomieszanie definicji.

[Majeskas]

Winowajcą był prawdopodobnie artykuł na Wikipedii. Sam ostatnio miałem przez to problem i zastanawiałem się, jak wykazać równoważność, której nie ma. Poprawiłem to dla potomności.

[karolex123]

Lekcja z tego taka: wierne działanie grupy nie musi być tranzytywne (przechodnie) i na odwrót- przechodniość nie implikuje efektywności