Rzędy elementu grupy

[jojow]

Załóżmy, że element \(\displaystyle{ a}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) ma rząd równy \(\displaystyle{ n \in \NN}\)
1. Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ l \in \{0, 1, ..., n-1\}}\), że \(\displaystyle{ a^{k} = a^{l}}\).
2. Pokaż, że wszystkie elementy \(\displaystyle{ {a^{0}, a^{1}, ..., a^{n-1}}}\) są parami różne.

Wszystko wydaje się dosyć intuicyjne. W pierwszym bierzemy dowolną liczbę i \(\displaystyle{ a^k}\) to będzie jakieś \(\displaystyle{ l}\), które jest resztą z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\). Czyli \(\displaystyle{ a^{k\bmod n} = a^{l}}\). Ale nie wiem jak to zapisać. Może coś z \(\displaystyle{ a = b \cdot n +\mbox{ reszta}}\)?

W drugim gdyby nie były różne to rząd elementu \(\displaystyle{ = \infty}\)? Ale również nie potrafię tego dowieść.

Z góry dziękuję za pomoc.

[szw1710]

Gdyby \(\displaystyle{ a^k=a^l}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k,l\in\{0,\dots,n-1\}}\) takich, że \(\displaystyle{ k<l}\), to co dzieje się z elementem \(\displaystyle{ a^{l-k}}\)? Jak to się ma do rzędu elementu \(\displaystyle{ a}\)?

[Jan Kraszewski]

Może coś z \(\displaystyle{ a = b \cdot n +\mbox{ reszta}}\)?

Chyba Ci się literki pomyliły. Raczej \(\displaystyle{ k=dn+l}\), gdzie \(\displaystyle{ l}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ k}\) przez \(\displaystyle{ n}\), czyli \(\displaystyle{ 0\le l<n}\). A potem musisz przekształcić \(\displaystyle{ a^k=a^{dn+l}=...}\)

W drugim możesz rozumować nie wprost, ale musisz skorzystać z minimalności \(\displaystyle{ n}\) - skoro \(\displaystyle{ n}\) jest rzędem \(\displaystyle{ a}\), to jest to najmniejsza liczba naturalna o tej własności, że \(\displaystyle{ a^n=e}\). Z tą minimalnością dostaniesz sprzeczność.

JK