Strona 1 z 1
Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie
: 26 lip 2016, o 18:56
autor: Suri
Cześć,
mam pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ 1+I}\) jest zawarty w grupie \(\displaystyle{ R^{*}}\) i jest jej podgrupą. \(\displaystyle{ I\subset R}\) jest ideałem, którego wszystkie elementy są nilpotentne. \(\displaystyle{ R^{*}}\) jest to grupa elementów odwracalnych z działaniem mnożenia.
Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie
: 26 lip 2016, o 19:35
autor: hannahannah
Weźmy element należący do \(\displaystyle{ 1 +I}\), czyli postaci \(\displaystyle{ 1 + i}\) dla \(\displaystyle{ i\in I}\). Wtedy isntnieje \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) takie, że \(\displaystyle{ i^n=(-i)^n=0}\) skad \(\displaystyle{ (1+i)(1-i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1})=1-(-i)^n=1}\). Przy okazji widzimy, że \(\displaystyle{ (1+i)^{-1}\in 1+I}\), bo \(\displaystyle{ -i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1}\in I}\). Pozostaje wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ 1+I}\) jest zamknięty na mnożenie: \(\displaystyle{ (1+i)(1+j)=1+i+j+ij\in 1 +I}\) i koniec.
Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie
: 26 lip 2016, o 22:20
autor: Kartezjusz
Zwartość?
Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie
: 28 lip 2016, o 19:37
autor: Suri
\(\displaystyle{ (1+i)(1-i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1})=1-(-i)^n=1}\).
mogłabyś mi wyjaśnić skąd, co i jak? bo nie bardzo rozumiem ten fragment.
Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie
: 28 lip 2016, o 19:41
autor: Kartezjusz
Pierwsza równość ze wzoru na różnicę \(\displaystyle{ n}\) tych potęg, druga- nilpotentność.