Prosilabym o pomoc:)
zbudowac cialo 4-elementowe i 9-elementowe jako rozszerzenie cial prostych. Wyspiac wszystkie elementy tyvh cisl.
Z gory dzieki!
ciala
-
Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
ciala
Rozważmy pierścień: \(\displaystyle{ R = Z_{2}[x]/(x^2+x+1)}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ Z_{2}[x]}\) jest dziedziną ideałów głównych. Łatwo sprawdzić, że wielomian \(\displaystyle{ x^2 + x + 1 Z_{2}[x]}\) jest nierozkładalny. Zatem ideał generowany przez niego to ideał maksymalny. Stąd pierścień ilorazowy jest ciałem. Ma dokładnie 4 elementy:
\(\displaystyle{ 0 + (x^2+x+1) \\ 1 + (x^2+x+1) \\ x + (x^2+x+1) \\ x+1 + (x^2+x+1)}\).
Jeżeli chodzi o ciało 9 - elementowe, postępujemy podobnie, pozostawiam szczegóły, powiem tylko, jakich elementów się spodziewamy, a znalezienie odpowiedniego wielomianu nierozkładalnego stopnia 2 nad \(\displaystyle{ Z_{3}[x]}\)pozostawiam już Tobie. Reprezentanci warstw to:
\(\displaystyle{ 0 \\ 1 \\ 2 \\ x \\ x+1\\x+2\\2x\\2x+1\\2x+2}\)
Każde ciało charakterystyki p (pierwsze) jest rozszerzeniem ciała prostego \(\displaystyle{ Z_{p}}\)
\(\displaystyle{ 0 + (x^2+x+1) \\ 1 + (x^2+x+1) \\ x + (x^2+x+1) \\ x+1 + (x^2+x+1)}\).
Jeżeli chodzi o ciało 9 - elementowe, postępujemy podobnie, pozostawiam szczegóły, powiem tylko, jakich elementów się spodziewamy, a znalezienie odpowiedniego wielomianu nierozkładalnego stopnia 2 nad \(\displaystyle{ Z_{3}[x]}\)pozostawiam już Tobie. Reprezentanci warstw to:
\(\displaystyle{ 0 \\ 1 \\ 2 \\ x \\ x+1\\x+2\\2x\\2x+1\\2x+2}\)
Każde ciało charakterystyki p (pierwsze) jest rozszerzeniem ciała prostego \(\displaystyle{ Z_{p}}\)