Czy istnieje jakiś algorytm pozwalający wyznaczyć wszystkie podgrupy danej grupy?
Macie jakieś sprawdzone sposoby?
Czy trzeba to robić po omacku i sprawdzać wszystkie możliwości?
Wyznaczanie podgrup
-
ms7
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Wyznaczanie podgrup
Powiedzmy że muszę wyznaczyć podgrupy \(\displaystyle{ D_4}\)
Podgrupy będą miały po \(\displaystyle{ 1,2,4,8}\) elementów. \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 8}\) elementowa to wiadomo.
Generalnie wyznaczam podgrupy cykliczne i to mi daje wszystkie podgrupy 1 i 2 elementowe.
Teraz muszę znaleźć te 4 elementowe. I teraz nie wiem co z czym mam sprawdzać, domyślam się, że powinienem badać kombinacje powstałe z grup dwuelementowych. Dobry pomysł?
Teraz weźmy inny przykład, niech bezie grupa \(\displaystyle{ \ZZ_{16}^*= \left\{ 1,3,5,7,9,11,13,15 \right\}}\)
chciałbym wyznaczyć grupę \(\displaystyle{ \left\langle 7,9 \right\rangle}\). Na pewno będą w niej wszystkie elementy z \(\displaystyle{ \left\langle 7 \right\rangle}\) oraz z \(\displaystyle{ \left\langle 9 \right\rangle}\) a także iloczyn \(\displaystyle{ 7 \cdot _{\ZZ_{16}}9}\). Jakie jeszcze iloczyny powinienem sprawdzić? Skąd będę wiedział, że to już wszystkie elementy danej podgrupy? Dla cyklicznych wykonuję operację tak długo aż wszystko zacznie się powtarzać, ale jak to zrobić gdy mamy dwa elementy generujące?
Podgrupy będą miały po \(\displaystyle{ 1,2,4,8}\) elementów. \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 8}\) elementowa to wiadomo.
Generalnie wyznaczam podgrupy cykliczne i to mi daje wszystkie podgrupy 1 i 2 elementowe.
Teraz muszę znaleźć te 4 elementowe. I teraz nie wiem co z czym mam sprawdzać, domyślam się, że powinienem badać kombinacje powstałe z grup dwuelementowych. Dobry pomysł?
Teraz weźmy inny przykład, niech bezie grupa \(\displaystyle{ \ZZ_{16}^*= \left\{ 1,3,5,7,9,11,13,15 \right\}}\)
chciałbym wyznaczyć grupę \(\displaystyle{ \left\langle 7,9 \right\rangle}\). Na pewno będą w niej wszystkie elementy z \(\displaystyle{ \left\langle 7 \right\rangle}\) oraz z \(\displaystyle{ \left\langle 9 \right\rangle}\) a także iloczyn \(\displaystyle{ 7 \cdot _{\ZZ_{16}}9}\). Jakie jeszcze iloczyny powinienem sprawdzić? Skąd będę wiedział, że to już wszystkie elementy danej podgrupy? Dla cyklicznych wykonuję operację tak długo aż wszystko zacznie się powtarzać, ale jak to zrobić gdy mamy dwa elementy generujące?
Ostatnio zmieniony 14 maja 2016, o 23:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5742
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Wyznaczanie podgrup
Mnożysz je przez siebie z różnymi wykładnikami u góry, sprawdzasz rząd 7 rząd 9 ,
rząd 7*9 będzie pewnie wielokrotnością najmniejszą obu rzędów.
Jeśli chodzi o klasyfikację grup np abelowych ładnie się je przedstawia za pomocą partycji liczby.
Tyle jest grup abelowych nieizomorficznych rzędu \(\displaystyle{ p^n}\) ile jest partycji liczby n.(p liczba pierwsza).
Potem łatwo rozszerzyć rozważanie dla grup abelowych dowolnego rzędu.
rząd 7*9 będzie pewnie wielokrotnością najmniejszą obu rzędów.
Jeśli chodzi o klasyfikację grup np abelowych ładnie się je przedstawia za pomocą partycji liczby.
Tyle jest grup abelowych nieizomorficznych rzędu \(\displaystyle{ p^n}\) ile jest partycji liczby n.(p liczba pierwsza).
Potem łatwo rozszerzyć rozważanie dla grup abelowych dowolnego rzędu.