Dzialanie dodawanie czy jest grupą abelową

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Velarian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 11 gru 2015, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 14 razy

Dzialanie dodawanie czy jest grupą abelową

Post autor: Velarian » 13 lut 2016, o 00:21

W zbiorze R określone jest działanie \(\displaystyle{ R \times R \in (x,y) \Rightarrow x\oplus y \equiv x+y-5}\)
sprawdź czy \(\displaystyle{ (R,\oplus)}\) jest grupą abelową
-----------------------------
Nie za bardzo wiem jak na to patrzeć, ta -5 mi przeszkada
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14943
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 137 razy
Pomógł: 4947 razy

Dzialanie dodawanie czy jest grupą abelową

Post autor: Premislav » 13 lut 2016, o 00:31

Masz sprawdzić następujące rzeczy:
1) dla dowolnych dwóch elementów \(\displaystyle{ a, b}\) zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) wynik działania
\(\displaystyle{ a\oplus b}\) należy do \(\displaystyle{ \RR}\)
2) działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) jest łączne;
3) działanie \(\displaystyle{ \oplus}\) ma element neutralny \(\displaystyle{ e}\);
4) dla każdego \(\displaystyle{ a\in \RR}\) istnieje element przeciwny do \(\displaystyle{ a}\), tj. takie \(\displaystyle{ b \in \RR}\), że \(\displaystyle{ a\oplus b=b\oplus a=e}\).
To są warunki, które muszą być spełnione, aby \(\displaystyle{ (\RR, \oplus)}\) była grupą.
5) dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ a\oplus b=b\oplus a}\).
Akurat tak łączność, jak i przemienność masz bezpośrednio z definicji działania \(\displaystyle{ \oplus}\) oraz łączności i przemienności dodawania liczb rzeczywistych. Natomiast należy wskazać element neutralny i pokazać, że każdy element \(\displaystyle{ \RR}\) ma względem tego działania element przeciwny. Chyba z tym nie będzie problemu, co? Jaką liczbę \(\displaystyle{ y}\) musisz dodać do dowolnej liczby \(\displaystyle{ x}\), żeby po tym dodaniu i odjęciu \(\displaystyle{ 5}\)zostało \(\displaystyle{ x}\)?

Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Dzialanie dodawanie czy jest grupą abelową

Post autor: Medea 2 » 13 lut 2016, o 02:45

Szybciej będzie tak: zauważ, że \(\displaystyle{ a + b - 5 = (a - 5) + (b - 5) + 5}\), zaś \(\displaystyle{ (\RR, +)}\) jest grupą abelową.

Velarian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 11 gru 2015, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 14 razy

Dzialanie dodawanie czy jest grupą abelową

Post autor: Velarian » 13 lut 2016, o 14:09

Okej czyli;
elementem neutralnym jest 5
istnieje element przeciwny bo:
\(\displaystyle{ x+(-x+10)-5=(-x+10)+x-5=5}\)
Przemienność
\(\displaystyle{ x+y-5=y+x-5}\)
Łączność
\(\displaystyle{ (x+y)-5=x+(y-5)}\)

Muszę to jakoś uzasadnić na papierze ,więc chciałbym wiedzieć jak to zapisywać

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14943
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 137 razy
Pomógł: 4947 razy

Dzialanie dodawanie czy jest grupą abelową

Post autor: Premislav » 13 lut 2016, o 14:21

Co do przemienności i łączności, to wynika ona bezpośrednio z przemienności i łączności "zwykłego" dodawania w \(\displaystyle{ \RR}\), natomiast jeśli chcesz rozpisywać: to, co Ty zapisałeś, to nie jest sprawdzenie warunku łączności tego działania. Łączność działania \(\displaystyle{ \oplus}\) w \(\displaystyle{ \RR}\) oznacza, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z \in \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ (x \oplus y) \oplus z=x\oplus (y \oplus z)}\). Tj. masz pokazać, że
\(\displaystyle{ (x+y-5)+z-5=x+(y+z-5)-5}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z \in \RR}\)

Velarian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 11 gru 2015, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 14 razy

Dzialanie dodawanie czy jest grupą abelową

Post autor: Velarian » 13 lut 2016, o 14:25

Dzięki wielkie za pomoc już to zrozumiałem ,niestety nie wiem w jakim stopniu musiałbym to uzasadnić ,ale może faktycznie wystarczy napisać że to wynika z definicji

ODPOWIEDZ