Dla \(\displaystyle{ R}\)-modułu (lewostronnego) \(\displaystyle{ M}\) oraz \(\displaystyle{ r\in R}\) dane jest odwzorowanie \(\displaystyle{ M _{r}: M \rightarrow M}\), takie że \(\displaystyle{ M _{r}(x)=rx}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ M _{r}}\) są \(\displaystyle{ R}\)-homomorfizmami dla wszystkich \(\displaystyle{ R}\)-modułów \(\displaystyle{ M}\)\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ rr _{1}=r _{1}r}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ r _{1} \in R}\).
Wiem, że z pierwszego warunku dostajemy na \(\displaystyle{ R}\)-moduł, że \(\displaystyle{ M _{r}}\) są homomorfizmami grup:
\(\displaystyle{ M _{r}(x+y)=r(x+y)=^{1} rx+ry}\), natomiast nie wiem jak pokazać powyższe warunki, to znaczy:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ M _{r}\left( r_{1}\left( x+y\right) \right) = r\left( r _{1}x + r _{1}y\right)}\) i teraz z definicji homomorfizmu modułów dostajemy \(\displaystyle{ \ldots= rr _{1}x+rr _{1}y}\) i co dalej? Czy teraz należy wnioskować, że skoro \(\displaystyle{ M _{r}}\) jest \(\displaystyle{ R}\)-hom. dla każdego \(\displaystyle{ R}\)-modułu, to istnieje takie odwozorwanie \(\displaystyle{ M _{r _{1}}}\), że \(\displaystyle{ M _{r _{1}}\left( r\left( x+y\right) \right) = r _{1}rx + r _{1}ry}\) i stąd mamy, że \(\displaystyle{ r _{1}r=rr _{1}}\)?
homomorfizm modułów
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
homomorfizm modułów
Odwzorowanie \(\displaystyle{ \psi:M\rightarrow N}\) jest \(\displaystyle{ R}\)-homomorfizmem \(\displaystyle{ R}\)-modułów \(\displaystyle{ M,N}\), gdy :
1) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in M}\) zachodzi \(\displaystyle{ \psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)}\)
2) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in M,\ r_1\in R}\) mamy \(\displaystyle{ \psi(r_1x)=r_1\psi(x)}\)
W Twoim przypadku wynikanie z prawej w lewą jest oczywiste - przemienność zapewnia spełnienie warunku (2). Warunek pierwszy jest automatyczny.
W drugą stronę masz : \(\displaystyle{ \forall r_1\in R\ \forall x\in M \ :\ r_1r-rr_1\in \ell.\mathrm{Ann}_R(x)}\), czyli dla dowolnego \(\displaystyle{ r_1\in R}\) jest \(\displaystyle{ \ r_1r-rr_1\in \ell.\mathrm{Ann}_R(M)}\). Przy czym zachodzi to dla dowolnego \(\displaystyle{ R}\)-modułu \(\displaystyle{ M}\). W szczególności dla \(\displaystyle{ M=R}\).
1) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in M}\) zachodzi \(\displaystyle{ \psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)}\)
2) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in M,\ r_1\in R}\) mamy \(\displaystyle{ \psi(r_1x)=r_1\psi(x)}\)
W Twoim przypadku wynikanie z prawej w lewą jest oczywiste - przemienność zapewnia spełnienie warunku (2). Warunek pierwszy jest automatyczny.
W drugą stronę masz : \(\displaystyle{ \forall r_1\in R\ \forall x\in M \ :\ r_1r-rr_1\in \ell.\mathrm{Ann}_R(x)}\), czyli dla dowolnego \(\displaystyle{ r_1\in R}\) jest \(\displaystyle{ \ r_1r-rr_1\in \ell.\mathrm{Ann}_R(M)}\). Przy czym zachodzi to dla dowolnego \(\displaystyle{ R}\)-modułu \(\displaystyle{ M}\). W szczególności dla \(\displaystyle{ M=R}\).