Grupy wolne

[Santiago A]

Chcę pokazać, że grupy wolne różnych rang nie są izomorficzne. Dla skończonej rangi wystarczy policzyć homomorfizmy w \(\displaystyle{ S_2}\), ale ogólny przypadek (nieskończonej rangi) mnie przerasta. Proszę o wskazówkę.

[Zordon]

Żeby odróżnić skończone \(\displaystyle{ F_k}\) od siebie oraz skończone od \(\displaystyle{ F_{\omega}}\) można użyć argumentu, który przytoczyłeś. Dla \(\displaystyle{ \kappa>\omega}\) mamy \(\displaystyle{ |F_{\kappa}|=\kappa}\), więc już moce odróżniają te grupy...

[Santiago A]

A co z takim rozumowaniem? Jeśli \(\displaystyle{ F_X \cong F_Y}\), to abelianizacje tych grup również są izomorficzne, czyli:

\(\displaystyle{ \bigoplus_{x \in X} \ZZ \cong \bigoplus_{y \in Y} \ZZ}\).

Jak pokazać, że ten warunek już pociąga równoliczność \(\displaystyle{ X, Y}\)?

[Zordon]

Musiałbyś udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^{\kappa_1}=2^{\kappa_2}\Rightarrow \kappa_1 = \kappa_2}\), a to zdaje się nie wynika z ZFC. Ale to może teoriomnogościowcy powinni się wypowiedzieć.


edit: to wyżej chyba nie ma sensu, ale nie będę usuwał
edit2: \(\displaystyle{ |\bigoplus_{x \in X} \ZZ|=|X|}\) jeśli tylko \(\displaystyle{ |X|\geq \omega}\), więc można