Rozszerzenia ciał.

[Waszok]

Witam,

jak udowodnić, że \(\displaystyle{ Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\ldots,\sqrt{p_n})=Q(\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\ldots+\sqrt{p_n})}\), gdzie \(\displaystyle{ Q}\) jest ciałem liczb wymiernych, a
\(\displaystyle{ p_1}\),\(\displaystyle{ p_2}\),...,\(\displaystyle{ p_n}\) są parami różnymi liczbami pierwszymi?
Zapis \(\displaystyle{ Q(.)}\) rozumiem jako rozszerzenie ciała \(\displaystyle{ Q}\) o elementy w nawiasie.

Z góry dziękuję za odpowiedz:)

[AdamL]

Rozszerzenie o element to konstrukcja przestrzeni liniowej nad ciałem. W jedna strone zawieranie jest oczywiste, wiesz w ktora?:)

[Zordon]

Przez indukcję się to robi, trzeba odpowiednio wzmocnić tezę. Jeśli to Twoje pierwsze zadanie z tego tematu, to raczej polecałbym potrenować na czymś prostszym.

[Waszok]

Tak, wiem, że to jest konstrukcja przestrzeni liniowej nad ciałem. Oczywiste zawieranie to:
\(\displaystyle{ Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\ldots,\sqrt{p_n})\supseteq Q(\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\ldots+\sqrt{p_n})}\). Nie wiem jednak w jaki sposób pokazać zawieranie w drugą stronę ... Trzeba dowieść, że mając liczby wymierne i element postaci \(\displaystyle{ \sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\ldots+\sqrt{p_n}}\) możemy uzyskać (wykonując działania z ciała \(\displaystyle{ Q}\)) poszczególne elementy \(\displaystyle{ \sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\ldots,\sqrt{p_n}}\).
Jeżeli tych liczb pierwszych jest mało, np. dwie lub trzy, to można to zrobić bezpośrednio, mnożąc, podnosząc odpowiednie elementy do kwadratu itd. Jednak w tym przypadku tych pierwiastków jest n, no i właśnie takie bezpośrednie wykonywanie działań raczej do niczego nie doprowadzi .... Też myślałem początkowo o indukcji, ale nie bardzo wiem jak to ugryźć. W jaki sposób wzmocnić tezę?

[AdamL]

Myślałeś o stopniu rozszerzenia?

[Waszok]

Stopień rozszerzenia ciała jest to wymiar przestrzeni liniowej nad tym mniejszym ciałem. W tym zadaniu mamy \(\displaystyle{ [Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\ldots,\sqrt{p_n}):Q]=2^n}\). Dobrze myślę?
Jeśli chcemy pokazać równość ciał, to stopień rozszerzenia tego drugiego ciała nad \(\displaystyle{ Q}\) również musiałby być równy \(\displaystyle{ 2^n}\), tak? Jednak nie wiem, czy jest jakieś twierdzenie, które mówi, że jak stopnie rozszerzeń ciał są równe nad jakimś określonym ciałem (w tym przypadku \(\displaystyle{ Q}\)), to są one równe?

[AdamL]

Stopień rozszerzenia ciała jest to wymiar przestrzeni liniowej nad tym mniejszym ciałem. W tym zadaniu mamy \(\displaystyle{ [Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\ldots,\sqrt{p_n}):Q]=2^n}\). Dobrze myślę?
Jeśli chcemy pokazać równość ciał, to stopień rozszerzenia tego drugiego ciała nad \(\displaystyle{ Q}\) również musiałby być równy \(\displaystyle{ 2^n}\), tak? Jednak nie wiem, czy jest jakieś twierdzenie, które mówi, że jak stopnie rozszerzeń ciał są równe nad jakimś określonym ciałem (w tym przypadku \(\displaystyle{ Q}\)), to są one równe?

Bo nie ma takiego twierdzenia przykład \(\displaystyle{ Q(\sqrt(2))}\) i Q(Q(sqrt(3))[/latex], ale jeśli pokażesz, że stopien jest równy i pokażesz, że pewne elementy w jakiś sposób należą i tu i tu to masz dowod

[Waszok]

No ok, tylko jak pokazać, że \(\displaystyle{ [Q(\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\ldots+\sqrt{p_n}):Q]=2^n}\)?
Poza tym jeśli jeszcze dodatkowo będzie trzeba pokazywać, że odpowiednie elementy należą do obu rozszerzeń, to czy nie łatwiej już to zrobić bezpośrednio, czyli po prostu pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\ldots,\sqrt{p_n}}\)należą do \(\displaystyle{ Q(\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\ldots+\sqrt{p_n})}\), tzn. nie bawić już się w te rozszerzenia?

AdamL, jeśli wiesz jak przeprowadzić ten dowód, to mógłbyś mnie jakoś bardziej naprowadzić? Pisząc "pewne elementy w jakiś sposób należą i tu i tu" jakie konkretnie elementy masz na myśli?

Dzięki za pomoc:)

[Kartezjusz]

Myślę, że tak, ale powodzenia

[AdamL]

Jeśli dobrze pamiętam, w którejś książce Browkina to bylo

[Zordon]

Można przez indukcję udowodnić, że zbiór:
\(\displaystyle{ \{ \prod_{i\in S}p_i: S\subseteq \{1,2,...,n\}\}}\) jest bazą