Ustalić rozszerzenia normalne podanych ciał nad \(\displaystyle{ \QQ}\):
1)\(\displaystyle{ \QQ( \sqrt[5]{3})}\)
2)\(\displaystyle{ \QQ (\sqrt 2,\sqrt 3)}\)
Jakie wielomiany rozważyć?
Rozszerzenia normalne nad Q
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Rozszerzenia normalne nad Q
Co to znaczy "ustalić rozszerzenia normalne ciał" ?
Chyba chodziło o sprawdzenie, czy podane rozszerzenia są normalne lub
o znalezienie najmniejszego rozszerzenia normalnego zawierającego dane ciało.
1) Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą to \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta_p)}\) jest najmniejszym rozszerzeniem normalnym \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) zawierającym \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})}\). Dla dowodu rozważ wielomian \(\displaystyle{ x^p-2\in\mathbb{Q}[x]}\)
2) Jest to rozszerzenie normalne. Rozważ wielomian \(\displaystyle{ f(x)=(x^2-2)(x^2-3)}\).
Szczegóły dowodów pozostawiam Tobie.
Chyba chodziło o sprawdzenie, czy podane rozszerzenia są normalne lub
o znalezienie najmniejszego rozszerzenia normalnego zawierającego dane ciało.
1) Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą to \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta_p)}\) jest najmniejszym rozszerzeniem normalnym \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) zawierającym \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})}\). Dla dowodu rozważ wielomian \(\displaystyle{ x^p-2\in\mathbb{Q}[x]}\)
2) Jest to rozszerzenie normalne. Rozważ wielomian \(\displaystyle{ f(x)=(x^2-2)(x^2-3)}\).
Szczegóły dowodów pozostawiam Tobie.