Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \left( G, \cdot \right)}\) będzie grupą macierzy nieosbliwych \(\displaystyle{ \RR ^{2x2}}\). Czy zbiór:
\(\displaystyle{ H=\left\{ \left[ \begin{array}{cc}1 & 0\\ a & b \end{array}\right] \in G : a \neq 0 \wedge b \in \RR\right\}}\)
Jest podgrupą grupy G.

Udowadniam że jest.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ a & b \end{array} \right]}\) \(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ c & d \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ A,B \in H}\)

\(\displaystyle{ B ^{-1} =\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ - \frac{c}{d} & \frac{1}{d} \end{array} \right] \in H}\)


\(\displaystyle{ A \cdot B ^{-1} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ a- \frac{bc}{d} & \frac{b}{d} \end{array} \right] \in H}\)

Podgrupa H ma element przeciwny. Więc może być podgrupą grupy G. Czy to wszystko czy przydało by się jeszcze kilka słów o tym?


No tak, ale nie istnieje element neutralny bo \(\displaystyle{ a \not \in 0}\) czyli nie ma macierzy identycznościowej więc?

kamaz08 pisze: \(\displaystyle{ B ^{-1} =\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ - \frac{c}{d} & \frac{1}{d} \end{array} \right] \in H}\)

A co, gdy \(\displaystyle{ d=0}\)? Definicja \(\displaystyle{ H}\) dopuszcza taką możliwość.

kamaz08 pisze: No tak, ale nie istnieje element neutralny bo \(\displaystyle{ a \not \in 0}\) czyli nie ma macierzy identycznościowej więc?

Zapis \(\displaystyle{ a\notin 0}\) nie ma sensu. W \(\displaystyle{ H}\) jest zawarta macierz jednostkowa.

W ogóle ten zbiór nie jest podzbiorem macierzy odwracalnych, bo z definicji \(\displaystyle{ H}\) wynika, że

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \right]\in H}\),

więc jak mamy tu mówić o podgrupie? o_O

No d nie może być 0 bo wtedy wyznacznik byłby równy zero, a są to macierze nieosobliwe, czyli wyznacznik musi być różny od 0. Chodziło mi o \(\displaystyle{ a \neq 0}\)

Ale \(\displaystyle{ b}\) może być zerem i dostajesz macierz, którą wypisał jutrvy. A ona nie należy do \(\displaystyle{ G}\).

jutrvy pisze:W ogóle ten zbiór nie jest podzbiorem macierzy odwracalnych, bo z definicji \(\displaystyle{ H}\) wynika, że

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \right]\in H}\),

więc jak mamy tu mówić o podgrupie? o_O

Możemy, bo definicja \(\displaystyle{ H}\) zaczyna się od \(\displaystyle{ \{ M \in G : \dots}\), więc ta macierz z pewnością nie należy do \(\displaystyle{ H}\).

No doooobra, niech Ci będzie :p

Dlaczego takie proste rzeczy mi umykają... Medea 2, dobrze, że pilnujesz "starszych kolegów".

Odpowiedź jednak się nie zmieni, prawda? Gdyby \(\displaystyle{ H}\) miała element neutralny, to byłby on neutralny także dla \(\displaystyle{ G}\). Problem w tym, że warunek \(\displaystyle{ a \neq 0}\) wszystko psuje. O elemencie odwrotnym możemy więc tylko pomarzyć.