1. Pokaż, że dowolny charakter grupy \(\displaystyle{ S_n}\) gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) ma wartości rzeczywiste.
2. Podaj przykład grupy i jej charakteru, który nie jest rzeczywisty.
Dwa pytania odnośnie charakteru grupy
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Dwa pytania odnośnie charakteru grupy
1. Można pokazać, że ma wartości całkowite.
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą, a \(\displaystyle{ V}\) jej (zespoloną) reprezentacją. Ustalmy \(\displaystyle{ g\in G, \ \mathrm{ord}(g)=m}\). Wtedy \(\displaystyle{ \chi_{V}(g)\in\mathbb{Q}(\zeta_m)}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})=(\mathbb{Z}/(m\mathbb{Z}))^*}\).
Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ G=S_n}\) i niech \(\displaystyle{ k}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ (m,k)=1}\). Co możesz powiedzieć o rozkładzie na cykle elementów \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ g^k}\) ? Co stąd wynika odnośnie \(\displaystyle{ \chi_{V}(g)}\) i \(\displaystyle{ \chi_{V}(g^k)}\) ? I jaki to ma związek z wartościami tych charakterów ?
2. Rozważ grupę kwaternionów.
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą, a \(\displaystyle{ V}\) jej (zespoloną) reprezentacją. Ustalmy \(\displaystyle{ g\in G, \ \mathrm{ord}(g)=m}\). Wtedy \(\displaystyle{ \chi_{V}(g)\in\mathbb{Q}(\zeta_m)}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})=(\mathbb{Z}/(m\mathbb{Z}))^*}\).
Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ G=S_n}\) i niech \(\displaystyle{ k}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ (m,k)=1}\). Co możesz powiedzieć o rozkładzie na cykle elementów \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ g^k}\) ? Co stąd wynika odnośnie \(\displaystyle{ \chi_{V}(g)}\) i \(\displaystyle{ \chi_{V}(g^k)}\) ? I jaki to ma związek z wartościami tych charakterów ?
2. Rozważ grupę kwaternionów.