Czy ma dzielniki zera pierścień macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\-b&a\end{array}\right]}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b \in\RR}\) względem zwykłego dodawania i mnożenia macierzy?
Odp:
weźmy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\-b&a\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}p&q\\-q&p\end{array}\right], a,b,p,q \in \RR}\)
aby iloczyn tych macierzy był macierzą zerową muszą zachodzić równości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ap-bq=0 \\ aq+bp=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}p&q\\-q&p\end{array}\right]\neq 0 \Leftrightarrow}\) wyznacznik pierwszej\(\displaystyle{ = a^2+b^2=0}\)
I tu się zatrzymałam - co dalej? czy to już koniec?
dzielniki zera pierścienia macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 21 sty 2015, o 13:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
dzielniki zera pierścienia macierzy
Ostatnio zmieniony 17 sty 2021, o 21:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http:// matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http:// matematyka.pl/178502.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hd
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 44 razy
dzielniki zera pierścienia macierzy
Nie ma nietrywialnych dzielników zera, bo:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
a&b\\-b&a
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
a&-b\\b&a
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a^2+b^2&0\\0&a^2+b^2
\end{pmatrix}=(a^2+b^2)
\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}}\)
jeśli więc przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest niezerowa, to dana macierz jest odwracalna i nie jest dzielnikiem zera.-- 21 sty 2015, o 16:19 --Twoje rozumowanie jest ok.
Otrzymany przez ciebie układ równań, jako zmienne rozważamy \(\displaystyle{ p,q}\), ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}\) ma nietrywialne jądro (t.j. odwzorowanie odpowiadające tej macierzy), czyli wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) jest równy zero. Prawie to samo.
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
a&b\\-b&a
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
a&-b\\b&a
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a^2+b^2&0\\0&a^2+b^2
\end{pmatrix}=(a^2+b^2)
\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}}\)
jeśli więc przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest niezerowa, to dana macierz jest odwracalna i nie jest dzielnikiem zera.-- 21 sty 2015, o 16:19 --Twoje rozumowanie jest ok.
Otrzymany przez ciebie układ równań, jako zmienne rozważamy \(\displaystyle{ p,q}\), ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}\) ma nietrywialne jądro (t.j. odwzorowanie odpowiadające tej macierzy), czyli wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) jest równy zero. Prawie to samo.
- niunix98
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 17 razy
Re: dzielniki zera pierścienia macierzy
Jak to wykazać?
Dodano po 10 minutach 4 sekundach:
Wydaje mi się, że wiem jak to zrobić. Zapisujemy \(\displaystyle{ A A^{-1} = I}\) oraz \(\displaystyle{ AB = 0}\). Wtedy \(\displaystyle{ A(A^{-1} - B) = I}\), czyli \(\displaystyle{ A^{-1} - B = A^{-1}}\) (bo \(\displaystyle{ A^{-1}}\) jest wyznaczony jednoznacznie). Stąd \(\displaystyle{ B=0}\).