dzielniki zera pierścienia macierzy

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
pilik00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 sty 2015, o 13:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

dzielniki zera pierścienia macierzy

Post autor: pilik00 »

Czy ma dzielniki zera pierścień macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\-b&a\end{array}\right]}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b \in\RR}\) względem zwykłego dodawania i mnożenia macierzy?

Odp:
weźmy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\-b&a\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}p&q\\-q&p\end{array}\right], a,b,p,q \in \RR}\)
aby iloczyn tych macierzy był macierzą zerową muszą zachodzić równości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ap-bq=0 \\ aq+bp=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}p&q\\-q&p\end{array}\right]\neq 0 \Leftrightarrow}\) wyznacznik pierwszej\(\displaystyle{ = a^2+b^2=0}\)

I tu się zatrzymałam - co dalej? czy to już koniec?
Ostatnio zmieniony 17 sty 2021, o 21:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http:// matematyka.pl/178502.htm .
Naed Nitram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 44 razy

dzielniki zera pierścienia macierzy

Post autor: Naed Nitram »

Nie ma nietrywialnych dzielników zera, bo:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
a&b\\-b&a
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
a&-b\\b&a
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a^2+b^2&0\\0&a^2+b^2
\end{pmatrix}=(a^2+b^2)
\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}}\)

jeśli więc przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest niezerowa, to dana macierz jest odwracalna i nie jest dzielnikiem zera.-- 21 sty 2015, o 16:19 --Twoje rozumowanie jest ok.
Otrzymany przez ciebie układ równań, jako zmienne rozważamy \(\displaystyle{ p,q}\), ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}\) ma nietrywialne jądro (t.j. odwzorowanie odpowiadające tej macierzy), czyli wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) jest równy zero. Prawie to samo.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

dzielniki zera pierścienia macierzy

Post autor: Medea 2 »

Może się czepiam, ale pokazałeś, że nie jest nilpotentna, a nie, że nie jest dzielnikiem zera (w pierwszej połowie posta).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

dzielniki zera pierścienia macierzy

Post autor: Dasio11 »

Pokazał, że macierz jest odwracalna, a z tego łatwo wynika, że nie jest dzielnikiem zera.
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: dzielniki zera pierścienia macierzy

Post autor: niunix98 »

Dasio11 pisze: 30 sty 2015, o 20:19 macierz jest odwracalna, a z tego łatwo wynika, że nie jest dzielnikiem zera.
Jak to wykazać?

Dodano po 10 minutach 4 sekundach:
Wydaje mi się, że wiem jak to zrobić. Zapisujemy \(\displaystyle{ A A^{-1} = I}\) oraz \(\displaystyle{ AB = 0}\). Wtedy \(\displaystyle{ A(A^{-1} - B) = I}\), czyli \(\displaystyle{ A^{-1} - B = A^{-1}}\) (bo \(\displaystyle{ A^{-1}}\) jest wyznaczony jednoznacznie). Stąd \(\displaystyle{ B=0}\).
ODPOWIEDZ