ideał pierścienia

[aGabi94]

1.Jeśli I-ideał w A, to I[X] ideał w A[X]?
Uzasadnij dlaczego.
2.Czy zbiór \(\displaystyle{ I=\{ f\in C_{<0,1>} f(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{3})\} \
I2=\{ f\in C^1_{<0,1>} f'(\frac{1}{2})=f'(\frac{1}{3})\}}\)
jest ideałem pierścienia A? \(\displaystyle{ A= C_{<0,1>} , A= C^1_{<0,1>}}\)
Ogólne warunki do 2 zad.znam:
1)\(\displaystyle{ 0 \in I}\)
2)\(\displaystyle{ \forall x,y\in I \
x-y \in I}\)
3)\(\displaystyle{ \forall x\in I,a \in A \
ax,xa\in I}\)
Wydaje mi się,że pierwszy i drugi warunek jest spełniony,
mam problem z iloczynem.

[squared]

No zadanie drugie proste. No co do iloczyny pytanie sprowadza się do tego, czy jak wymnożysz funkcję taką, że \(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{2}\right) = f\left( \frac{1}{3}\right)}\) przez dowolną funkcję, to czy otrzymasz funkcję spełniającą te założenia.

Niech \(\displaystyle{ f}\), funkcja taka, że \(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{2}\right) = f\left( \frac{1}{3}\right) = a}\) ora z\(\displaystyle{ g\in C_{\left[ 0,1\right]}}\). Weźmy \(\displaystyle{ g\left( \frac{1}{3}\right) =b, g\left( \frac{1}{2}\right) =c}\).

Wtedy:

\(\displaystyle{ fg\left( \frac{1}{2}\right) = f\left( \frac{1}{2}\right) \cdot g\left( \frac{1}{2}\right) = ab \\
fg\left( \frac{1}{3}\right) = f\left( \frac{1}{3}\right) \cdot g\left( \frac{1}{3}\right) = ac \\

fg\left( \frac{1}{2}\right) \neq fg\left( \frac{1}{3}\right)}\)

Zatem nie jest to ideał.


Co do zadania pierwszego zrób tak, samo jak drugie. Sprawdź sobie te trzy warunki po kolei, oczywiście przy przekształceniach pamiętaj, że współczynniki wielomianów z \(\displaystyle{ I[X]}\) są elementami ideału \(\displaystyle{ I}\) (więc zachowują własności 1,2,3 ideałów).