Jakie są ideały pierwsze i maksymalne w pierścieniu\(\displaystyle{ Z_n \times ... \times Z_n}\).
Wiemy, że wszystkie ideały Z_n są postaci k Z_n, gdzie k jest dzielnikiem n.
W naturalny sposób możemy uogólnić to na iloczyn kartezjański\(\displaystyle{ Z_n \times ...\times Z_n}\).
\(\displaystyle{ (Z_n \times... \times Z_n)/(k_1Z_n \times ... \times k_sZ_n)}\) musi być ciałem (dla ideałów maksymalnych) i dziedziną całkowitości (dla ideałów pierwszych).
Z moich rozważań wynika, że pierścień ten nie ma ideałów maksymalnych, natomiast posiada s ideałów pierwszych dla n = liczbie pierwszej . Może ktoś potwierdzić bądź zaprzeczyć?
Ideał maksymalny i pierwszy
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Ideał maksymalny i pierwszy
Ideały maksymalne w \(\displaystyle{ Z_n}\) są postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\), gdzie \(\displaystyle{ p < n, p \mid n, p}\) liczba pierwsza.
w \(\displaystyle{ Z_n \times... \times Z_n}\) ideały maksymalne będą postaci \(\displaystyle{ I_1 \times... \times I_n}\), gdzie dokładnie jeden \(\displaystyle{ I_j}\) będzie postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\)(p jak wyżej) a pozostałe będą równe \(\displaystyle{ Z_n}\).
w \(\displaystyle{ Z_n \times... \times Z_n}\) ideały maksymalne będą postaci \(\displaystyle{ I_1 \times... \times I_n}\), gdzie dokładnie jeden \(\displaystyle{ I_j}\) będzie postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\)(p jak wyżej) a pozostałe będą równe \(\displaystyle{ Z_n}\).
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Ideał maksymalny i pierwszy
To jest bez sensu, w pierścieniu skończonym, ideał jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy jest maksymalny (być może modulo jakieś detale definicyjne).trzebiec pisze:
Z moich rozważań wynika, że pierścień ten nie ma ideałów maksymalnych, natomiast posiada s ideałów pierwszych dla n = liczbie pierwszej . Może ktoś potwierdzić bądź zaprzeczyć?
Pierścień postaci \(\displaystyle{ R_1\times R_2}\) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ R_1=\{0\}}\) i \(\displaystyle{ R_2}\) jest ciałem bądź \(\displaystyle{ R_2=\{0\}}\) i \(\displaystyle{ R_1}\) jest ciałem
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Ideał maksymalny i pierwszy
Lekkie odkopanie tematu. Czy istnieje możliwość wyjaśnienia, skąd się to wzięło?sebnorth pisze:Ideały maksymalne w \(\displaystyle{ Z_n}\) są postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\), gdzie \(\displaystyle{ p < n, p \mid n, p}\) liczba pierwsza.
w \(\displaystyle{ Z_n \times... \times Z_n}\) ideały maksymalne będą postaci \(\displaystyle{ I_1 \times... \times I_n}\), gdzie dokładnie jeden \(\displaystyle{ I_j}\) będzie postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\)(p jak wyżej) a pozostałe będą równe \(\displaystyle{ Z_n}\).
Generalnie chodzi o to że \(\displaystyle{ Z_n \setminus kZ_n = Z_k}\). Stąd wiem, że \(\displaystyle{ k\in\PP}\) by \(\displaystyle{ kZ_n}\) był maksymalny (i pierwszy).
Jeśli można to dlaczego taka potem jest ostateczna odpowiedź:
Najbardziej to mnie intryguje. Z góry dziękuję za odpowiedź i pomoc!w \(\displaystyle{ Z_n \times... \times Z_n}\) ideały maksymalne będą postaci\(\displaystyle{ I_1 \times... \times I_n}\), gdzie dokładnie jeden \(\displaystyle{ I_j}\) będzie postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\)(\(\displaystyle{ p}\) jak wyżej) a pozostałe będą równe \(\displaystyle{ Z_n}\).