Co to za struktura algebraiczna

[metamatyk]

Hej!

Pytanie do szanownych algebraików. Jak nazywacie taki oto zbiór:

Ustalmy \(\displaystyle{ h\in\RR}\) i oznaczmy przez \(\displaystyle{ \ZZ}\) zbiór liczb całkowitych

Interesuje mnie taki obiekt:

\(\displaystyle{ h\ZZ:=\{0,h,-h,2h,2h,-3h,3h,...\}}\)

Co to za struktura algebraiczna?
Na moje oko to jest podgrupa w \(\displaystyle{ \RR}\), ale mogę się mylić.
Czy można o tym coś więcej powiedzieć?

[Andreas]

To nie jest struktura algebraiczna, tylko lewostronna warstwa elementu \(\displaystyle{ h}\) względem \(\displaystyle{ \ZZ}\).

[szw1710]

Zbiór \(\displaystyle{ h\ZZ}\) z działaniem dodawania jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ (\RR,+,0)}\). Masz rację. Przecież różnice elementów z \(\displaystyle{ h\ZZ}\) należą do \(\displaystyle{ h\ZZ}\). Jeśli \(\displaystyle{ h\in\ZZ}\), to mamy ideał w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ}\). Zauważmy, że - jako podgrupa \(\displaystyle{ \RR}\), grupa \(\displaystyle{ (h\ZZ,+,0)}\) jest przy \(\displaystyle{ h\ne 0}\) izomorficzna z grupą \(\displaystyle{ (\ZZ,+,0)}\).

-- 12 lis 2014, o 21:42 --

Andreas, dla \(\displaystyle{ m,n\in\ZZ}\) mamy \(\displaystyle{ hm,hn\in h\ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ hm-hn=h(m-n)\in h\ZZ}\). Nie wiem czy nie mylisz sytuacji z \(\displaystyle{ h\in\ZZ}\). Wtedy to istotnie warstwa w grupie addytywnej \(\displaystyle{ \ZZ}\).

[metamatyk]

Dziękuję za pomoc

[Andreas]

Przecież z definicji to jest warstwa, czyli podzbiór. Po co komplikować?

[szw1710]

Rozwiń tę myśl. Jaką relację równoważności masz na myśli?

[Andreas]

Mamy grupę \(\displaystyle{ \RR}\) i jej podgrupę \(\displaystyle{ \ZZ}\).
Zbiór \(\displaystyle{ h\ZZ=\{h+z: z \in \ZZ \}}\) to lewostronna warstwa elementu \(\displaystyle{ h}\) grupy \(\displaystyle{ \RR}\) względem \(\displaystyle{ \ZZ}\).
Co jest nie tak?

[szw1710]

Tak - mocno nie tak. Mamy \(\displaystyle{ h\ZZ=\{hm:m\in\ZZ\}}\). To, co napisałeś, to \(\displaystyle{ h+\ZZ}\).

Owszem, Twoja struktura jest warstwą. Jednak to, o co pyta autor wątku, jest czymś innym. Zaszło więc drobne nieporozumienie.

[Andreas]

No a co jest między \(\displaystyle{ h}\) a \(\displaystyle{ \ZZ}\)? Nie działanie grupowe?

[szw1710]

Popatrz, jak to było definiowane w pierwszym poście:

\(\displaystyle{ h\ZZ:=\{0,h,-h,2h,2h,-3h,3h,...\}}\)

Nic innego jak to, co napisałem powyżej. Owszem - nie powiedziano nic o działaniu grupowym. Ale nie za bardzo widzę tu sumy \(\displaystyle{ h+m}\), gdzie \(\displaystyle{ m\in\ZZ}\). W swojej odpowiedzi sprecyzowałem, o jakie działanie mi chodzi - o dodawanie i podgrupę grupy addytywnej izomorficzną z \(\displaystyle{ \ZZ}\).

[Andreas]

No tak, nie popatrzyłem na prawą stronę równości I wyobraziłem sobie \(\displaystyle{ h \ZZ}\) jako \(\displaystyle{ \{h,1+h,-1+h,2+h,-2+h,3+h,-3+h,...\}}\)

[szw1710]

Ale się przynajmniej dogadaliśmy

[metamatyk]

Ok, to było wstępem do trochę innego pytania.
Teraz załóżmy, że mam dany jakiś podzbiór liczb wymiernych. Załóżmy dla uproszczenia, że jest skończony.
Półóżmy \(\displaystyle{ X=\{p_1,p_2,...,p_m\}}\)
Interesuje mnie coś w rodzaju "przestrzeni wektorowej" zdefiniowanej tak:
\(\displaystyle{ X\ZZ=\{p_1n_1+p_2n_2+...+p_mn_m,\;\;p_i\in X,n_i\in \ZZ\}}\)
Czy prawdą jest takie coś:
\(\displaystyle{ X\ZZ=\{NWW(p_1,...,p_m)n,\;\;n\in\ZZ\}}\)

[szw1710]

Coś z \(\displaystyle{ NWW}\) dla liczb wymiernych przesadzasz.

Zacznij badanie od dwóch liczb względnie pierwszych. Zbadaj, czym jest np. \(\displaystyle{ 2\ZZ+3\ZZ}\). Można oczywiście później przejść do liczb wymiernych.

Skalary chcesz więc brać całkowite, a wektory wymierne? Poczytaj też o modułach nad pierścieniami.

[metamatyk]

Dla liczb względnie pierwszych będzie zawsze
\(\displaystyle{ k\ZZ+n\ZZ=\ZZ}\)
Jeśli \(\displaystyle{ NWD(k,n)>1}\) to
\(\displaystyle{ k\ZZ+n\ZZ=NWD(k,n)\ZZ}\)
Jednak wciąż nie bardzo wiem co by było dla liczb wymiernych.
np co to jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ZZ+\frac{1}{3}\ZZ}\)

Problem bierze się z teorii procesów stochastycznych.
Otóż mamy proces który może wykonywać skoki zgodnie z rozkładem
\(\displaystyle{ P(X_n=a)=1-P(X_n=-b)=p,\;\;a,b\in\QQ}\)
lub też bardziej ogólnie rozkład jest rozłożony na pewnym podzbiorze liczb wymiernych, wśród których są ujemne liczby wymierne. Tak właśnie powstaje coś, co ja opisuję jako \(\displaystyle{ X\ZZ}\), ale nie bardzo wiem co to właściwie jest.

To co mnie interesuje, to właśnie przestrzeń stanów dla tego procesu. Stąd właśnie moje pytanie.