rozkladalnosc wielomianów
rozkladalnosc wielomianów
Zbadaj czy wielomian \(\displaystyle{ (x^{2}+1)T^{3}+x^{3}+x}\) jest rozkładalny w pierścieniu \(\displaystyle{ R(x)[T]}\)
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2013, o 15:15 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
rozkladalnosc wielomianów
No właśnie takie zadanie miałam na egzaminie i nie wiem, a jesli tak to jak sie za to zabrac;/
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
rozkladalnosc wielomianów
Może spróbować rozpisać na iloczyn \(\displaystyle{ (a_1(x)T^2+a_2(x)T+a_3(x))(b_1(x)T+b_2(x))}\), jeśli się rozkłada to musi mieć część liniową ze wzgledu na to że jest to wielomian stopnia 3.
Wtedy \(\displaystyle{ a_1b_1T^3+(a_1b_2+a_2b_1)T^2+(a_2b_2+a_3b_1)T+a_3b_2}\) i porównujemy współczynniki (pominąłem już "x" żeby wyraźniej wyglądało).
\(\displaystyle{ a_1(x)= x^2+1\quad i\quad b_1(x)=1}\) lub \(\displaystyle{ b_1(x)= x^2+1\quad i\quad a_1(x)=1}\) ( tylko takie przypadki bo \(\displaystyle{ x^2+1}\) w R[x] nie rozkłada się )
Rozważmy pierwszy przypadek
\(\displaystyle{ (x^2+1)b_2+a_2=0}\)
\(\displaystyle{ a_2b_2+a_3=0}\)
\(\displaystyle{ a_3b_2=x^3+x}\)
Z tego da się wyliczyć \(\displaystyle{ b^3_2(x^2+1)=x^3+x}\). Widać, że musi być \(\displaystyle{ b^3_2=x}\), czyli \(\displaystyle{ b_2=\sqrt[3]{x}}\) a to nie należy do \(\displaystyle{ R[x]}\).
Drugi przypadek wychodzi całkiem analogicznie.
Ja bym tak to zrobił na egzaminie, ale myślę że na forum są specjaliści którzy poprawią moje rozumowanie jeżeli jest błędne.
Wtedy \(\displaystyle{ a_1b_1T^3+(a_1b_2+a_2b_1)T^2+(a_2b_2+a_3b_1)T+a_3b_2}\) i porównujemy współczynniki (pominąłem już "x" żeby wyraźniej wyglądało).
\(\displaystyle{ a_1(x)= x^2+1\quad i\quad b_1(x)=1}\) lub \(\displaystyle{ b_1(x)= x^2+1\quad i\quad a_1(x)=1}\) ( tylko takie przypadki bo \(\displaystyle{ x^2+1}\) w R[x] nie rozkłada się )
Rozważmy pierwszy przypadek
\(\displaystyle{ (x^2+1)b_2+a_2=0}\)
\(\displaystyle{ a_2b_2+a_3=0}\)
\(\displaystyle{ a_3b_2=x^3+x}\)
Z tego da się wyliczyć \(\displaystyle{ b^3_2(x^2+1)=x^3+x}\). Widać, że musi być \(\displaystyle{ b^3_2=x}\), czyli \(\displaystyle{ b_2=\sqrt[3]{x}}\) a to nie należy do \(\displaystyle{ R[x]}\).
Drugi przypadek wychodzi całkiem analogicznie.
Ja bym tak to zrobił na egzaminie, ale myślę że na forum są specjaliści którzy poprawią moje rozumowanie jeżeli jest błędne.
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
rozkladalnosc wielomianów
robertm19, w tym rozwiązaniu masz trochę luk. Elementy \(\displaystyle{ a1,a2,a3,b1,b2}\) są funkcjami wymiernymi. Możliwe, że uda się wykazać, że muszą być wielomianami, ale nie myślałem o tym. Zauważmy, że \(\displaystyle{ (x^{2}+1)T^{3}+x^{3}+x=(x^2+1)(T^3+x)}\). Element \(\displaystyle{ x^2+1}\) jest skalarem w pierścieniu \(\displaystyle{ R(x)[T]}\), więc wystarczy rozważać nierozkładalność wielomianu \(\displaystyle{ T^3+x}\). Czym jest \(\displaystyle{ R}\), liczby rzeczywiste czy jakiś dowolny pierścień? Jeśli to liczby rzeczywiste, to wystarczy sprawdzić, czy ten wielomian ma pierwiastek, a to łatwo sprawdzić.
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
rozkladalnosc wielomianów
marcinz, dlaczego uważasz że są to funkcje wielomianowe? Nie rozumiem twojego zdania na ten temat. Zakładam, że są takie wielomiany, że da się tak rozpisać. Po czym dochodzę do tego, że przynajmniej jeden nie jest wielomianem. Taka jest moja idea do tego zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
rozkladalnosc wielomianów
To jest \(\displaystyle{ R(x)[T]}\), a nie \(\displaystyle{ R[x][T]}\). Czyli współczynniki tego wielomianu to funkcje wymierne, a nie wielomiany.robertm19 pisze:marcinz, dlaczego uważasz że są to funkcje wielomianowe? Nie rozumiem twojego zdania na ten temat. Zakładam, że są takie wielomiany, że da się tak rozpisać. Po czym dochodzę do tego, że przynajmniej jeden nie jest wielomianem. Taka jest moja idea do tego zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
rozkladalnosc wielomianów
A to przepraszam, nie znam takiego pierścienia. To był strzał, że są to wielomiany.liu pisze: To jest \(\displaystyle{ R(x)[T]}\), a nie \(\displaystyle{ R[x][T]}\). Czyli współczynniki tego wielomianu to funkcje wymierne, a nie wielomiany.
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
rozkladalnosc wielomianów
Obstawiam, że to po prostu funkcje wymierne o współczynnikach rzeczywistych, tylko, że autorzy zwykle rzucają treść zadania nie zwracając uwagi na fakt, że każdy wykład ma swoje konwencje w zakresie nazewnictwa i oznaczeń, nie zawsze izomorficzne z konwencjami próbujących pomóc.
Funkcje wymierne o współczynnikach z pierścienia nie zachowują się tak ładnie, jak takie nad ciałem.
Funkcje wymierne o współczynnikach z pierścienia nie zachowują się tak ładnie, jak takie nad ciałem.