rozkladalnosc wielomianów

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
berni29
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 19 sie 2013, o 12:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: berni29 »

Zbadaj czy wielomian \(\displaystyle{ (x^{2}+1)T^{3}+x^{3}+x}\) jest rozkładalny w pierścieniu \(\displaystyle{ R(x)[T]}\)
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2013, o 15:15 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: robertm19 »

Co to za dziwny pierścień. Wielomianów na pierścieniem wielomianów, dobrze rozumiem?
berni29
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 19 sie 2013, o 12:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: berni29 »

No właśnie takie zadanie miałam na egzaminie i nie wiem, a jesli tak to jak sie za to zabrac;/
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: robertm19 »

Może spróbować rozpisać na iloczyn \(\displaystyle{ (a_1(x)T^2+a_2(x)T+a_3(x))(b_1(x)T+b_2(x))}\), jeśli się rozkłada to musi mieć część liniową ze wzgledu na to że jest to wielomian stopnia 3.
Wtedy \(\displaystyle{ a_1b_1T^3+(a_1b_2+a_2b_1)T^2+(a_2b_2+a_3b_1)T+a_3b_2}\) i porównujemy współczynniki (pominąłem już "x" żeby wyraźniej wyglądało).
\(\displaystyle{ a_1(x)= x^2+1\quad i\quad b_1(x)=1}\) lub \(\displaystyle{ b_1(x)= x^2+1\quad i\quad a_1(x)=1}\) ( tylko takie przypadki bo \(\displaystyle{ x^2+1}\) w R[x] nie rozkłada się )
Rozważmy pierwszy przypadek
\(\displaystyle{ (x^2+1)b_2+a_2=0}\)
\(\displaystyle{ a_2b_2+a_3=0}\)
\(\displaystyle{ a_3b_2=x^3+x}\)
Z tego da się wyliczyć \(\displaystyle{ b^3_2(x^2+1)=x^3+x}\). Widać, że musi być \(\displaystyle{ b^3_2=x}\), czyli \(\displaystyle{ b_2=\sqrt[3]{x}}\) a to nie należy do \(\displaystyle{ R[x]}\).
Drugi przypadek wychodzi całkiem analogicznie.
Ja bym tak to zrobił na egzaminie, ale myślę że na forum są specjaliści którzy poprawią moje rozumowanie jeżeli jest błędne.
marcinz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 53 razy

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: marcinz »

robertm19, w tym rozwiązaniu masz trochę luk. Elementy \(\displaystyle{ a1,a2,a3,b1,b2}\) są funkcjami wymiernymi. Możliwe, że uda się wykazać, że muszą być wielomianami, ale nie myślałem o tym. Zauważmy, że \(\displaystyle{ (x^{2}+1)T^{3}+x^{3}+x=(x^2+1)(T^3+x)}\). Element \(\displaystyle{ x^2+1}\) jest skalarem w pierścieniu \(\displaystyle{ R(x)[T]}\), więc wystarczy rozważać nierozkładalność wielomianu \(\displaystyle{ T^3+x}\). Czym jest \(\displaystyle{ R}\), liczby rzeczywiste czy jakiś dowolny pierścień? Jeśli to liczby rzeczywiste, to wystarczy sprawdzić, czy ten wielomian ma pierwiastek, a to łatwo sprawdzić.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: robertm19 »

marcinz, dlaczego uważasz że są to funkcje wielomianowe? Nie rozumiem twojego zdania na ten temat. Zakładam, że są takie wielomiany, że da się tak rozpisać. Po czym dochodzę do tego, że przynajmniej jeden nie jest wielomianem. Taka jest moja idea do tego zadania.
liu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: liu »

robertm19 pisze:marcinz, dlaczego uważasz że są to funkcje wielomianowe? Nie rozumiem twojego zdania na ten temat. Zakładam, że są takie wielomiany, że da się tak rozpisać. Po czym dochodzę do tego, że przynajmniej jeden nie jest wielomianem. Taka jest moja idea do tego zadania.
To jest \(\displaystyle{ R(x)[T]}\), a nie \(\displaystyle{ R[x][T]}\). Czyli współczynniki tego wielomianu to funkcje wymierne, a nie wielomiany.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: robertm19 »

liu pisze: To jest \(\displaystyle{ R(x)[T]}\), a nie \(\displaystyle{ R[x][T]}\). Czyli współczynniki tego wielomianu to funkcje wymierne, a nie wielomiany.
A to przepraszam, nie znam takiego pierścienia. To był strzał, że są to wielomiany.
liu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: liu »

Obstawiam, że to po prostu funkcje wymierne o współczynnikach rzeczywistych, tylko, że autorzy zwykle rzucają treść zadania nie zwracając uwagi na fakt, że każdy wykład ma swoje konwencje w zakresie nazewnictwa i oznaczeń, nie zawsze izomorficzne z konwencjami próbujących pomóc.

Funkcje wymierne o współczynnikach z pierścienia nie zachowują się tak ładnie, jak takie nad ciałem.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

rozkladalnosc wielomianów

Post autor: yorgin »

Myśleliście może nad kryterium Eisensteina? Wydaje mi się, że z niego całe zadanie pójdzie od ręki.
ODPOWIEDZ