Wyznaczyć podgrupę, rząd, liczbę warstw

[karl153]

Dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) grupe jednosci pierscienia \(\displaystyle{ Z_{n}}\) oznaczamy , \(\displaystyle{ \Phi \left( n \right)}\) a liczbe jej elementów \(\displaystyle{ \varphi \left( n \right)}\).
Funkcje \(\displaystyle{ \phi:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}}\): okreslona w ten sposób nazywamy funkcja Eulera
Dla zadanej grupy \(\displaystyle{ G}\) (równej\(\displaystyle{ \left( 15 \right) , \left( 16 \right) , \left( 18 \right) , S_5, S_6, D_8, D_9}\) lub \(\displaystyle{ D_{10}}\)) i zadanego elementu \(\displaystyle{ g}\) tej grupy nalezy wyznaczyc:
• podgrupę generowana przez \(\displaystyle{ g}\),
• rzad elementu \(\displaystyle{ g}\) ,
• liczbę warstw lewostronnych podgrupy \(\displaystyle{ hgi}\) w grupie \(\displaystyle{ G}\) (nie wyznaczac tych warstw tylko ich liczbe).

Czy mógł by ktoś podać jeden przykład ? z zadanej grupy i elementu ?
To może pokażę, jak to rozumiem:
\(\displaystyle{ \Phi \left( 15 \right) = \left\{ \left( 1,2,4,7,8,11,13,14 \right) , \cdot \right\}}\)
\(\displaystyle{ g \in G}\) to grupa cykliczna czyli \(\displaystyle{ \left\langle g \right\rangle= \left\{ g^{n}:n \in \mathbb{Z} \right\}}\)
jeżeli wezmę element \(\displaystyle{ 2=g}\) to \(\displaystyle{ \left\langle 2 \right\rangle= \left\{ 0,2,4,8 \right\}}\) Dobrze w ogóle zaczynam ? niech ktoś okaże litość i napisze, tylko jeden przykład.

[marcinz]

To może pokażę, jak to rozumiem:
\(\displaystyle{ \Phi \left( 15 \right) ={ \left( 1,2,4,7,8,11,13,14 \right) , \cdot }}\)

dobrze

\(\displaystyle{ g \in G}\) to grupa cykliczna czyli \(\displaystyle{ \left\langle g \right\rangle={g^{n}:n \in \mathbb{Z}}}\)
jeżeli wezmę element \(\displaystyle{ 2=g}\) to \(\displaystyle{ \left\langle 2 \right\rangle={0,2,4,8}}\)

źle, skąd tam masz \(\displaystyle{ 0}\), powinna być \(\displaystyle{ 1}\)
Nawiasy klamrowe są znakami specjalnymi w texu, aby ich użyć zrób tak

Kod: Zaznacz cały

{}

[karl153]

źle, skąd tam masz \(\displaystyle{ 0}\), powinna być \(\displaystyle{ 1}\)

No tak racja, czyli podgrupa to będzie ten zbiór tak \(\displaystyle{ \left\langle g \right\rangle= \left\{ 1,2,4,8 \right\}}\)
czyli rząd dwójki to \(\displaystyle{ 4}\) tak ? jest równy liczbie elementów zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 2 \right\rangle}\), tak ?
Z tymi warstwami lewostronnymi to nie mam kompletnie pojęcia od czego zacząć, jakaś pomoc :]?

[marcinz]

Tak. Co do warstw, skorzystaj z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%27a_%28teoria_grup%29

.